第八章 方差分析和回归分析

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1、xiaobugs第八章方差分析与回归分析第八章目录§8.2线性回归分析数学模型§8.1方差分析§8.1方差分析为方便起见，本章常称在试验中变化的变量为因子，用A、B、C、……，表示，因子在试验中所处的不同状态称为水平，记为一、单因素方差分析例1例8.1为寻求适应本地区的高产油菜品种，今选择五个不同品种进行实验，每一品种在四块试验田上试种，得到在每一田块上的数据如下：品种田块A1A2A3A4A512562242502882062222300277280212328029023031522042982753222592121.分析我们研究的问题是

2、诸不同品种的平均亩产量是否有显著差异。可以认为诸品种的亩产量服从正态分布检验假设为：一般的，假设在某实验中，因子A有r个不同的水平且相互独立现在在水平下做了t次试验获得t个结果并可以看作取自的一个容量为t的子样，i=1,2,……，r，故有其中i=1,2,……，r，j=1，2，……，t，水平下的实验结果服从在令称μ为一般平均，称为因子A的第i个水平的效应，则检验假设可以写成：2.作偏差平方和称为总的偏差平方和，其中为总的平均，令3.平方和的分解称为总偏差（离差）平方和，称为因子A的偏差平方和称为误差的偏差平方和，所以是的无偏估计当假设H0为真时

3、，是的无偏估计，此时不应该太大，如果太大，可以认为假设H0不真。下面确定F的分布。不难看出在假设H0为真时如果我们能证明,且与相互独立，便可得到F~F(r-1,n-r)设为n个相互独立的N(0,1)变量，为变量，若其中为某些正态变量的平方和，这些变量分别是的线性组合，其自由度为，则诸相互独立，且诸变量的充要条件是定理8.1（科赫伦定理）根据定理8.1（科赫伦定理）有4.作方差分析表:在实际计算中常进行如下化简：方差分析表:对于给定的显著水平α，算出相应的分位点当时拒绝原假设否则接受原假设n-1总和n-r误差er-1因子AF比均方和自由度平方和

4、来源例1考察温度对某化工产品的影响，得数据如下：温度6065707580得率%909196848492939383868892938882求得试在显著水平α=0.01下，画出方差分析表，并检验温度对得率有无显著影响？解：方差分析表为说明温度对得率有显著影响14298.4总和3.81038误差e17.131665.14260.4因子AF比均方和自由度平方和来源例2为寻求高产品种，今选取了五种不同的品种进行试验，每一品种在四块试验田上试种，求得，试在显著水平α=0.05下，试画出方差分析表，并检验不同品种有无显著差异？解：方差分析表为所以认为不同

5、品种有显著差异。0.95(4,15)=3.06F>F2089.91总和2.2911534.37误差e6.0613.885455.54因子AF比均方和自由度平方和来源设在试验中有两个因子在变动因子A取r个不同水平，，因子B取s个不同水平在水平组合下的试验结果独立的服从分布。同单因子方差分析一样，把参数改变一下，并令：二、二因子方差分析同单因子方差分析一样，把参数改变一下，并令：二因子方差分析（续1）称μ为一般平均，为因子A的第i个水平的效应，为因子B的第j个因子的效应，显然有1.若此时称为无交互作用的方差分析模型，此时我们只需对的每个组合各做一

6、次试验，记结果为则有二因子方差分析（续2）这就是无交互作用的方差分析模型，对这个模型所要检验的假设有两个：若检查结果拒绝，则认为因子A（B）的不同水平对结果有显著影响，若二者均不拒绝，那就说明因子A与B的不同水平组合对结果无显著影响。二因子方差分析（续3）类似于单因子方差分析，我们做总的偏差平方和，并对其进行分解得在为真时，一切的且相互独立，故无交互作用的方差分析故在为真时，有即在为真时有在为真时有无交互作用的方差分析（续）rs-1总和r-1s-1(r-1)(s-1)因子A因子B误差eF比均方和自由度平方和来源方差分析表:对于给定的显著水平α

7、，查出分位点当时，拒绝当时，拒绝2.若，则我们做称其为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互效应，它们满足关系式为了研究交互作用是否对结果有显著影响，那么在下至少要做t（t≥2）次试验，记其结果为有交互作用的二因子方差分析则这就是有交互作用的方差分析的模型，对此模型的检验假设为有交互作用的二因子方差分析（续1）做偏差平方和并进行分解有交互作用的二因子方差分析（续2）类似的。我们有在为真时在为真时在为真时有交互作用的二因子方差分析（续3）有交互作用的方差分析（续4）方差分析表来源平方和自由度均方和F比ABA×Be总和对于给定的显著水平α，

8、检验假设当时，拒绝当时，拒绝当时，拒绝有交互作用的二因子方差分析（续5）在某化工生产中，为了提高收率，选择了三种浓度，四种不同温度做试验，在同一浓度和温度组合下个做