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1、第八章方差分析与回归分析§8.1方差分析8.1.1问题的提出举例说明概念因子和水平。因子：对研究对彖产生影响的因素。水平：因子所处的状态。8.1.2单因子方差分析的统计模型在研究中只考察一个因子则称为单因子试验，其中，记因子为A,设其有尸个水平，记为…,人，在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有尸个水平，故有尸个总体，假定：(1)每一总体均为正态总体，记为心1,2,…八(2)各总体的方差相同，记cr；=…=cr；=cr2；(3)从每一总体中抽取的样本是相互独立的，即所有的试验结果儿都相互独立。这些假定都可以用统计方法进行验证。首先比较各水
2、平下的均值是否相同，即要对如下的一•个假设进行检验，H。：“
3、=“2H:“2,…,儿不全相等在不会引起误解的前提下，H通常可以省略不写。若H()成立，则称因子4不显著，否则，称因子4显著。对如上的假设进行检验，需要从每-•水平下的总体抽取样本，设从第，个水平下的总体获得加个试验结果(各个水平下相同)，记儿表示笫，个总体的第j次重复试验结果。共得如卜Jx加个试验结果：其中尸为水平数，加为重复数，2•为水平编号，丿为重复编号。在水平4下的试验结果九•与该水平下的指标均值“一般总是有差距的，记=yi}-，“j称为随机误差，于是有yu=h+%上式称
4、为试验结果儿.的数据结构式。把三个假定用于数据结构式就可以写出单因子方差分析的统计模型：f打=仏+%,i=l,…，rj=l,…，加(诸勺相互独立，且都服从MO,/)为了能更好地描述数据，常引入总均值和效应的概念:1r总均值：诸的平均；ri=称笫i水平下的均值从与总均值“的差q="•—“，i=l,…，厂为因了A的笫，水平的主效应，简称为4的效应。易知Xai=0，ZA=“+ai/=!这表明第i个总体均值是山总均值与该水平的效应叠加而成的，从而方差分析的模型可以改写为打="•+勺丿=1,・・・，厂,丿=1,…，加勺相互独立，且都服从7V（Oq2）则
5、假设可改写为H（）:ax=a2=•••=%=0H:0］卫2,…，色不全为08丄3平方和分解一、试验数据Trmn=翩=总试验的次数通常在单因子方差分析屮町将试验数据列成如卜•的表格形式。单因子方差分析试验数据因了水平试验数据和平均A儿>12•…£Ji%『22•…■T儿2•…■儿,“T、T其中二、组内偏差与组间偏差数据间是冇差异的，数据九与总平均歹间的偏差可用-y表示，它可分解为两个偏差Z和儿一歹=（儿一％）+（%—刃由于为-%=（角+為）-（Q+瓦•）=為-瓦.所以打-％仅反映组内数据与组内平均的随机误差，称为组内偏差；而x.-y=（a+瓦•
6、）-（“+可二①+瓦•一宅而X-.-y除了反映随机谋差外，还反映了笫，个水平的效应，称为组间偏差。三、偏差平方和及其自由度k个数据yk分别对具均值y=（）+…+儿）/£的偏差平方和0=4—刃2+•••+（儿—刃刃/=1称为£个数据的偏差平方和，简称为平方和。Q中独立的偏差只冇k-1个，即该平方和的自由度fQ=k-.自由度是偏差平方和的一个重要参数。四、总平方和分解公式各儿间总的差界大小可用总偏差平方和表示S厂工£（）分-刃2,齐》-1/=1;=1仅山随机误差引起的数据间的差界可以用组内偏差平方和表示，也称为误差偏差平方和，记为S。S°=工£
7、（儿一％）2，£=r（m-i）=n-rZ=
8、；=>由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间的差界，故rti效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子4的偏差平方和，记为Sa：S人二加£（%-刃S办=r-li=定理8.1.1在上述符号下，总平方和可以解为因子平方和与误差平方和之和，其自由度也有相应分解公式，ST=SA-^-Se9fT=fA+fe上式通常称为总平方和分解式。证明工£（打-%）（%-刃=口儿-%）£（%-刃〕=o；=1；=1/=1；=1故有尸加rmS『=工£（儿-刃彳二工£［（y厂久）+（久-刃］彳;=1;=11=1
9、j=r加=Se+Sa+2工工［（y厂久）（％-刃］念+Saf=1J=18丄4检验方法偏差平方和Q的大小与数据个数(自由度)有关，一般來说，数据越多，其偏差平方和越大。称MS=Q/扎为均方和，即平均毎个自由度上有多少平方和，度量一组数据的离散程度。对因子平方和Sa与误差平方和Se之间进行比较，用其均方和MSa=SA/fAtMSe-Se/fe进行比较更为合理，因为均方和排除了自由度不同产牛的干扰。故用F二M*二SJAMSeSe/fe作为检验原假设的统计量，为给出检验拒绝域，需要如下定理：定理&1・2在单因了方差分析模型及前述符号下，冇(1)Se/
10、cr2〜力$(斤一厂)，从而E(SJ=(n-r)cr2(2)E(SJ=(—1)/+加£力，进而，若成立，则有SA/a2〜/=1八-1)。(3)Sa与S
