(精品教育)2圆的对称性

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1、3.2圆的对称性1.理解圆的旋转不变性;(重点)2.掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理;(重点)3.能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题.(难点)                   一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合,对称中心即为其圆心.将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度,画出旋转之后的图形,比较前后两个图形,你能发现什么?二、合作探究探究点:圆心角、弧、弦之间的关系【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图,M为⊙O上一点,=,MD⊥OA于D,ME⊥OB

2、于E,求证:MD=ME.解析:连接MO,根据等弧对等圆心角,则∠MOD=∠MOE,再由角平分线的性质,得出MD=ME.证明:连接MO,∵=,∴∠MOD=∠MOE,又∵MD⊥OA于D,ME⊥OB于E,∴MD=ME.方法总结:圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等.本题考查了等弧对等圆心角,以及角平分线的性质.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图,在⊙O中,AB、CD是直径,CE∥AB且交圆于E,求证:=.解析:首先连接OE,由CE∥AB,可证得∠DOB=∠C

3、,∠BOE=∠E,然后由OC=OE,可得∠C=∠E,继而证得∠DOB=∠BOE,则可证得=.证明:连接OE,∵CE∥AB,∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E.∵OC=OE,∴∠C=∠E,∴∠DOB=∠BOE,∴=.方法总结:此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=36°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E.求、的度数.解析:连

4、接CD,由直角三角形的性质求出∠A的度数,再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数,由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数.解:连接CD,∵△ABC是直角三角形,∠B=36°,∴∠A=90°-36°=54°.∵AC=DC,∴∠ADC=∠A=54°,∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-54°-54°=72°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-72°=18°.∵∠ACD、∠BCD分别是,所对的圆心角,∴的度数为72°,的度数为18°.方法总结:解决本题的关键是根据题意作出辅助线,构造出等腰三角形.变

5、式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P,使得QP=QO?若存在,求出相应的∠OCP的大小;若不存在,请简要说明理由.解析:点P是直线l上的一个动点,因而点P与线段OA有三种位置关系:点P在线段OA上,点P在OA的延长线上,点P在OA的反向延长线上.分这三种情况进行讨论即可.解:当点P在线段OA上(如图①),在△

6、QOC中,OC=OQ,∴∠OQC=∠OCP.在△OPQ中,QP=QO,∴∠QOP=∠QPO.又∵∠AOC=30°.∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°.在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°,即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°,整理得3∠OCP=120°,∴∠OCP=40°;当P在线段OA的延长线上(如图②),∵OC=OQ,∴∠OQP=(180°-∠QOC)×=90°-∠QOC.∵OQ=PQ,∴∠OPQ=(180°-∠OQP)×=45°+∠QOC.在△OQP中,30°+∠QOC+∠O

7、QP+∠OPQ=180°,∴30°+∠QOC+90°-∠QOC+45°+∠QOC=180°,∴∠QOC=20°,则∠OQP=80°,∴∠OCP=100°;当P在线段OA的反向延长线上(如图③),∵OC=OQ,∴∠OCP=∠OQC=(180°-∠COQ)×=90°-∠COQ.∵OQ=PQ,∴∠OPQ=∠POQ=∠OQC=45°-∠COQ.∵∠AOC=30°,∴∠COQ+∠POQ=150°,∴∠COQ+45°-∠COQ=150°,∴∠COQ=140°,∴∠OCP=(180°-140°)×=20°.方法总结:本题通过同圆的半径相等,将圆的问题转

8、化为等腰三角形的问题,是一种常见的解题方法,还要注意分类讨论思想的运用.三、板书设计圆的对称性1.圆心角、弧、弦之间的关系2.应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己

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