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时间:2018-06-11
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1、浅谈函数的对称性浅谈函数的对称性是小柯论文网通过网络搜集,并由本站工作人员整理后发布的,浅谈函数的对称性是篇质量较高的学术论文,供本站访问者学习和学术交流参考之用,不可用于其他商业目的,浅谈函数的对称性的论文版权归原作者所有,因网络整理,有些文章作者不详,敬请谅解,如需转摘,请注明出处小柯论文网,如果此论文无法满足您的论文要求,您可以申请本站帮您代写论文,以下是正文。 [关键词]高中数学函数对称性 函数是高中数学的核心内容,也是整个高中数学的基础,是高考考查的重点与热点。函数的对称性是函数的一个常见性质,图像的对称关系充分体现了数
2、学之美,利用对称性往往能简捷地解决一些数学问题。 一、函数对称性常用性质 函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现,常见的有以下结论。 【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0,0)对称f(x)=-f(-x)。(这是奇函数的数与形的体现)。 推论1:函数y=f(x)的图像关于点M(a,b)对称f(x)+f(2a-x)=2b 证明:因为函数y=f(x)的图像关于点M(a,b)对称,所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,-b)平移后对应图像的解析式为:y=f(x+
3、a)-b,关于原点0(0,0)中心对称,由性质1知f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],即f(a-x)+f(a-x)=2b,即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。 推论2:函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a,b)成中心对称。 【性质2】函数y=y=f(x)的图像关于y轴对称f(x)=f(-x)。(这是偶函数的数与形的体现)。 推论3:函数y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)。 证明:因为y=f(x)的图像关于直线x=a对称,所以函数
4、y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为:y=f(x+a),关于y轴对称,由性质2知f(x+a)=f(-x+a),即f(a+x)=f(a-x),即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。 推论4:函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。 【性质3】函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线y=x成轴对称。 推论5:函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。 证明:x-y=a可以看作y=x-a,x=y+a,代入到y=f(x)中即得。反之也成立。
5、 推论6:函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。 【性质4】 ①若函数y=f(x)的图像关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2
6、a-b
7、是其一个周期。 ②若函数y=f(x)图像关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2
8、a-b
9、是其一个周期。 ③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4
10、a-b
11、是其一个周期。 简单地说,就是一个函数有两个
12、对称中心,或者两个对称轴,或者一个对称中心一个对称轴,则函数具有周期性。 以下证明②,其余结论可由读者自己证明。 证明:由已知和推论3,可得f(x)=f(2a-x)(*)和f(b+x)=f(b-x)(**),∵f(x)=f(2a-x)=f{b-[b-(2a-x)]}=f[(2b-2a)+x]∴y=f(x)是周期函数,且2
13、a-b
14、是其一个周期。 二、函数对称性应用举例 【例1】定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=(x-1)2,求f(x)解析式。 解:本题实质就是求函数f(x)=(x-1)2(x>0)的图像关于原
15、点对称的函数图像的解析式。由推论2可知当x<0时,f(x)=(-x-1)2,又因为是奇函数,所以f(0)=0。所以函数的解析式为f(x)= 【例2】设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数,并且f(x-)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,若g(5)=2006,那么f(4)=()。 (A)2006(B)2008(C)2010(D)2012 解:∵f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称 ∴y=g-1(x-2)的反函数是y=f(x-1) ∵y=g-1
16、(x-2)的反函数是y=2+g(x) ∴f(x-1)=2+g(x) ∴有f(5-1)=2+g(5)=2008f ∴f(4)=2008,应选(B) 【例3】设f(x)是定
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