教育论文浅谈函数的对称性

《教育论文浅谈函数的对称性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅谈函数的对称性浅谈函数的对称性是小柯论文网通过网络搜集，并由本站工作人员整理后发布的，浅谈函数的对称性是篇质量较高的学术论文，供本站访问者学习和学术交流参考之用，不可用于其他商业目的，浅谈函数的对称性的论文版权归原作者所有，因网络整理，有些文章作者不详，敬请谅解，如需转摘，请注明出处小柯论文网，如果此论文无法满足您的论文要求，您可以申请本站帮您代写论文，以下是正文。　　[关键词]高中数学函数对称性　　　　函数是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，是高考考查的重点与热点。函数的对称性是函数的一个常见性质，图像的对称关系充分体现了数

2、学之美，利用对称性往往能简捷地解决一些数学问题。　　　　一、函数对称性常用性质　　　　函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现，常见的有以下结论。　　【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0,0)对称f(x)=-f(-x)。（这是奇函数的数与形的体现）。　　推论1：函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称f(x)+f(2a-x)=2b　　　　证明：因为函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=（-a,-b）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+

3、a)-b，关于原点0(0，0)中心对称，由性质1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b］，即f(a-x)+f(a-x)=2b，即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。　　推论2：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a,b)成中心对称。　　【性质2】函数y=y=f(x)的图像关于y轴对称f(x)=f(-x)。（这是偶函数的数与形的体现）。　　推论3：函数y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。　　证明：因为y=f(x)的图像关于直线x=a对称，所以函数

4、y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于y轴对称，由性质2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。　　推论4：函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。　　　　【性质3】函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线y=x成轴对称。　　推论5：函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。　　证明：x-y=a可以看作y=x-a，x=y+a，代入到y=f(x)中即得。反之也成立。　

5、　推论6：函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。　　【性质4】　　①若函数y=f(x)的图像关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2

6、a－b

7、是其一个周期。　　②若函数y=f(x)图像关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2

8、a－b

9、是其一个周期。　　③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4

10、a－b

11、是其一个周期。　　简单地说，就是一个函数有两个

12、对称中心，或者两个对称轴，或者一个对称中心一个对称轴，则函数具有周期性。　　以下证明②，其余结论可由读者自己证明。　　证明：由已知和推论3，可得f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（**），∵f(x)=f(2a-x)=f{b-［b-(2a-x)］}=f［（2b-2a）+x］∴y=f(x)是周期函数，且2

13、a－b

14、是其一个周期。　　二、函数对称性应用举例　　【例1】定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)=(x-1)2，求f(x)解析式。　　解：本题实质就是求函数f(x)=(x-1)2（x＞0）的图像关于原

15、点对称的函数图像的解析式。由推论2可知当x＜0时，f（x）=(-x-1)2，又因为是奇函数，所以f(0)=0。所以函数的解析式为f(x)=　　　　【例2】设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=2006，那么f(4)=()。　　　　(A)2006（B）2008（C）2010（D）2012　　　　解：∵f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称　　　　∴y=g-1(x-2)的反函数是y=f(x-1)　　　　∵y=g-1

16、(x-2)的反函数是y=2+g(x)　　　　∴f(x-1)=2+g(x)　　　　∴有f(5-1)=2+g(5)=2008f　　　　∴f(4)=2008，应选（B）　　　　【例3】设f(x)是定