2018年秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

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1、3.1.3　空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[自主预习·探新知]1．空间向量的夹角(1)夹角的定义图3115已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.2．空间向量的数量积

2、(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间两向量的数量积的性质：向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝

11、a

12、·

13、b

14、反向：则a·b＝－

15、a

16、·

17、b

18、模a·a＝

19、a

20、

21、a

22、cos〈a，a〉＝

23、a

24、2

25、a

26、＝

27、a·b

28、≤

29、a

30、·

31、b

32、夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝思考：(1)若a·b＝0，则一定

33、有a⊥b吗？(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．[基础自测]1．思考辨析(1)在△ABC中，〈，〉＝∠B．(　　)(2)在正方体ABCDA′B′C′D′中，与的夹角为45°.(　　)(3)0·a＝0.(　　)(4)若a·b<0，则〈a，b〉为钝角．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　)A．30°B．60°　　C．

34、90°　　D．120°D　[△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°.]3．已知

35、a

36、＝3，

37、b

38、＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.【导学号：46342138】π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π.][合作探究·攻重难]空间向量的数量积运算　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)A．1　B．2　　　C．3　　　D．4(2)如图3116所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：图3116(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.[解析]　(1)由题意知，p·q＝0

39、，p2＝q2＝1所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.[答案]　A(2)·＝·＝

40、

41、

42、

43、cos〈，〉＝cos60°＝.(2)·＝·＝

44、

45、2＝.(3)EF·＝·＝－·＝－×cos60°＝－.(4)·＝·(－)＝·－·＝

46、

47、

48、

49、cos〈，〉－

50、

51、

52、

53、cos〈，〉＝cos60°－cos60°＝0.[规律方法]　在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式a·b＝

54、a

55、

56、b

57、co

58、s〈a，b〉求解.[跟踪训练]1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________.【导学号：46342139】a2　[·＝·＝·＋·＝a2cos60°＝a2.](2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.　[＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋∴·(＋＋)＝·(＋＋)＝2＋2＋2＝×22＋×32＋×12＝.]利用数量积证明空间的垂直关系　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M

59、，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．[解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设＝a，＝b，＝c，则

60、a

61、＝

62、b

63、＝

64、c

65、.又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b.∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(

66、a

67、2·cosθ－

68、a

69、2·cosθ－

70、a

71、2＋

72、a

73、2)＝0.∴⊥，即OG⊥BC．[规律方法]　用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题．(2)用已知向量表示所证向量．(3)结合数量积公式