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《2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 2.6.1 曲线与方程学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.6.1 曲线与方程学习目标:1.了解曲线与方程的对应关系,了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念.(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题.(重点)[自主预习·探新知]教材整理 曲线的方程 方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分,完成下列问题.1.方程与曲线的定义在直角坐标系中,如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解满足以下关系:如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐
2、标的点都在曲线C上,那么,方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线.2.方程与曲线的关系图2611.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上,那么方程f(x,y)=0就是曲线的方程.( )(2)如果f(x,y)=0是某曲线C的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.( )(3)若曲线C上的点满足方程f(x,y)=0,则坐标不满足方程f(x,y)=0的点不在曲线C上.( )(4)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0
3、,2)为端点的线段的方程.( )(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.点A在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,则m=________.【导学号:71392118】[解析] 据题意,有m2+(-m-1)2=10,解得m=2或-.[答案] 2或-3.方程
4、y
5、=
6、2x
7、表示的曲线是________.[解析] ∵
8、y
9、=
10、2x
11、,∴y=±2x,表示两条直线.[答案] 两条直线4.已知曲线C的方程为x2-xy+
12、2y-7=0,则下列四点中,在曲线C上的点有________(填序号).①(-1,2);②(1,-2);③(2,-3);④(3,6).[解析] 把各点的坐标代入检验知,只有(-1,2)满足方程.[答案] ①[合作探究·攻重难]曲线与方程的概念 下列命题正确的是________(填序号).①过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x=3;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;④△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC的
13、中点,则中线AD的方程为x=0.【导学号:71392119】[解析] ①正确,因为过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上任意一点的横坐标都是3,满足方程x=3,满足方程x=3的解为坐标的点都在过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上.②错误,因为到x轴距离为2的点的轨迹方程为
14、y
15、=2,即y=±2.③错误,因为到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为
16、x
17、·
18、y
19、=1即xy=±1.④错误,因为三角形中线AD是一条线段,而不是直线,AD方程应为x=0(-3≤y≤0).[答案] ①[名师指津] 判断方程是否是
20、曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否都适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.[再练一题]1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题正确的是________(填序号).①方程f(x,y)=0的曲线是C;②方程f(x,y)=0的曲线不一定是C;③f(x,y)=0是曲线C的方程;④以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.[解析] 只有正确地理解曲线与方程的定义,才能准确作答.易知①③④错误.[答案] ②由方程确定曲线 方程2x2+y
21、2-4x+2y+3=0表示什么图形?[精彩点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点,类似于用函数的解析式研究函数的图象,可由方程的特点入手分析.[自主解答] 方程的左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,而2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴2(x-1)2=0,(y+1)2=0,∴x-1=0且y+1=0,即x=1,y=-1.∴方程表示点(1,-1).[名师指津] 曲线的方程是曲线的代数体现,判断方程表示什么曲线,可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形,转化为我们熟知的曲线方程,在变形时
22、,应保证变形过程的等价性.[再练一题]2.方程4x2-y2+6x-3y=0表示什么图形?[解] 方程4x2-y2+6x-3y=0等价于(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=0,等价于(2x-y)(2x+y+3)=0,等价于2x-y=0或2x+y+3=0.故方程表示两条相交直线2x-y=0和2x+y+3=0.点与曲线的关系及应用 (1)判断点A(-4,3),B(-3,-4),C(,2)是否在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上;(