浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入考点规范练24平面向量的数量积

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1、考点规范练24　平面向量的数量积基础巩固组1.已知向量a,b满足

2、a

3、=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2

4、a

5、2-(-1)=2+1=3,故选B.2.已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=(　　)A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析由题意得cos∠ABC=BA·BC

6、BA

7、

8、BC

9、　=12×32+32×121×1=32,所以∠ABC=30°,故选A.3.设a,b均为单位向量,则“

10、a-3b

11、=

12、3a+b

13、”是“a⊥b”的(　　)

14、A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析

15、a-3b

16、=

17、3a+b

18、⇔

19、a-3b

20、2=

21、3a+b

22、2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“

23、a-3b

24、=

25、3a+b

26、”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.4.若

27、a

28、=1,

29、b

30、=2,且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是(　　)A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案D解析(a+b)⊥a⇔(a+b)·a=0⇔a2+a·b=0,即

31、a

32、2+

33、a

34、·

35、b

36、·cosθ=0(其中θ为a

37、与b的夹角),即12+1×2×cosθ=0⇒cosθ=-12,由于0≤θ≤π,解得θ=2π3,故选D.5.(2017浙江绍兴二模)已知点A(0,1),B(-2,3),C(-1,2),D(1,5),则向量AC在BD方向上的投影为(　　)A.21313B.-21313C.1313D.-1313答案D解析∵AC=(-1,1),BD=(3,2),∴AC在BD方向上的投影为

38、AC

39、cos=AC·BD

40、BD

41、=-1×3+1×232+22=-113=-1313.故选D.6.(2017浙江温州瑞安检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2),

42、b

43、=1,且a+b与

44、a-2b垂直,则向量a·b=　　　　　;a与b的夹角θ的余弦值为　　　　　. 答案3　355解析∵(a+b)⊥(a-2b),∴(a+b)·(a-2b)=0,即

45、a

46、2-a·b-2

47、b

48、2=0,∴5-a·b-2=0,∴a·b=3,∴cosθ=a·b

49、a

50、·

51、b

52、=355.7.已知非零向量m,n满足4

53、m

54、=3

55、n

56、,cos=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为　　　　　. 答案-4解析由4

57、m

58、=3

59、n

60、,可设

61、m

62、=3k,

63、n

64、=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t

65、m

66、·

67、n

68、·cos+

69、n

70、2=t×3k×4k×

71、13+(4k)2=4tk2+16k2=0,所以t=-4.8.在△ABC中,已知AB·AC=4,

72、BC

73、=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AM·AN的值是　　　　　. 答案6解析记BC中点为D,则由AB·AC=14[(AB+AC)2-(AB-AC)2]=14[(2AD)2-CB2]=AD2-94=4,得AD2=254.所以AM·AN=14[(AM+AN)2-(AM-AN)2]=14×(2AD)2-14MN2=AD2-14=254-14=6.能力提升组9.设a,b,c均为非零向量,若

74、(a+b)·c

75、=

76、(a-b)·c

77、,则(　　)A.a∥bB.a⊥bC.a∥c或b∥cD.a⊥

78、c或b⊥c答案D解析因为a,b,c均为非零向量,若

79、(a+b)·c

80、=

81、(a-b)·c

82、,所以(a+b)·c=(a-b)·c,或者(a+b)·c=-[(a-b)·c],展开整理得到b·c=0,或者a·c=0,所以b⊥c或a⊥c.故选D.10.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为(　　)A.2116B.32C.2516D.3答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A0,-12,B32,0,C0,32,D-32,0,∵点E在CD上,则DE=λDC(0≤λ≤1),设E(x,y),则x+

83、32,y=λ32,32,即x+32=32λ,y=32λ,由此可得E32λ-32,32λ,且AE=32λ-32,32λ+12,BE=32λ-3,32λ,由数量积的坐标运算法则可得,AE·BE=32λ-3232λ-3+32λ×32λ+12,整理可得AE·BE=34(4λ2-2λ+2)(0≤λ≤1),结合二次函数的性质可知,当λ=14时,AE·BE取得最小值2116.故选A.11.在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=2,若AP=16AD+56AB,则

84、BC+