平面法向量在高考立体几何中的运用

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1、SHUIANYUNYONG◎王述金(贵州省施秉县第一中学556200)平面法向量在课本上有定义考试大纲中有“理解“要求但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用’其实平面的法向量是中学数学中解立体几何题的锐利武器开发平面法向量的解题功能可以解决不少立体几何申有关角和距离的难题特另Q能解决近年全国高考试卷中的立体几何试题'一平面法向量的概念及引理*向薑与平面垂直.如果表示向量“的有向线段所在•则称这个向量垂直于平面°记果a±«那么向量(1叫做平面a的法角量的直线垂直于平面“作“丄a.如一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量进而就可以利用平面的法向

2、量解决相关立体几何问"题推导平面法向量的方法如下.'在给定的空间直角坐标素中设平面a的法向量n=f或m或=(1,v,z)］,在平面a内任找两人不共线的商量“丄•由“丄a.得〃=0且“d=0由此得到关于v、的方程组解此方程组即可得到有时为了需要也求法向量〃上的单位法向量址则”«例1正方体4BCD—A占CD中棱长为1求平面［co的法向量幵和单位法简量“’1解建立空间直角坐标系如图1,则.4(1,0.0).D.(0,0J),C(0,1,0).设平面ACD.的法向量佃3C=(—1,1,0),/!=(—1»0♦1).又刃丄面4仞“得闪丄疋川丄丽*.有(x』,l

3、)d)=0,得(x,yJ).(-l,0,l)=0,Itl=(1,1,1),〃亠二(1,1,1)-V3°阀V1+I+1二、法向量在近几年高考题中的体现例2(2008全国理科II第19题)女口柱ABCD-A.B.GD,中，乩4

4、二2」4B二4,点EGE=3EC.(I)证徑:儿C丄平函(If)求二面角A.-DE-B(h-1■■也…■…■■%Z2A〈图「BED；的大小彳I实践运用痢2正四棱在CC,中且国2解以门为坐标原点以射线"［为'轴的正半3DA建立如艮依题设nt=(0,2,1),丽=(2,2,0),Ac!=(—2,2,7).】3所示直角坐标系B(2,2,

5、0),C(0,2,0),E(0,2,l),£(2,0,4).DA^=(2,0,4).(I)MG•面‘=0,ATT-DE"=0.故A&丄BD、AC丄DE.又DEQDE二D,所A丄平面BED.(ID设向量»=(x,v.z)是平面ZM.E的法向量’则n丄D衣』丄DA*.故2y+n=0,2t：+4m=0.令y=1,贝Ug二一2,比=4/=(4,1,—2).等于二面角A,-DE-B的平面角，In11442所以二面角4-DE-B的大小为(I)利用线面垂直的判定定理证明要F再连接EF即可(”先找出二啬角的平亩詰篇'利用會三角形舟法求誦(或用向量法)'点评本龜考查

6、的内容是空间中线与面之间的关思路分析Vi/用到三垂定理先连接hcqbD于arccosV^42系以及面与面所成的角这一类题目已经是高考命题中的一种模式它可以用两种方法求解.一是几何法(也叫定义法「二是向量法通过建立空向直角坐标系求解此类题目同学们最好菜用向量法求解因为这种方法罪常公式化只是计算量较大”例3(2005•江西•理)如图4,在长方体ABCD—A石&D^fAD=AA}=l,AB=2,点&在棱AB上移动.(I)证明:D】E丄AtD；(II)当E为.4忌的中点时,求点恵到面.4("A的距离*(IIIMJE?等于何值时.二面角D.-EC-D的大小为卫

7、分析本题是立体几何试题的常见题型考查的是传统内容证线线垂直求点到平面的距离求二面角的大小司•用传统的几向方法求解也可利甬向量法求解(解艙)•利用平面法向量解题方法简便易于操作可以避开传统几何中的作图证萌的麻烦文可弥补空间想像能力的不足发挥代数运算的长处•深入开发它的解题功能平面法向量将在数学解题中亜到很重要的作用f•