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1、导数在图形应用题中的运用探密例1.(苏州中学2014届月考)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上),公共设施边界为曲线/(%)二1-ca2(a>0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,切曲线于点P,设P(f,/(/)).(I)将AOMN(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t)；(II)若心丄，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值.2例2.(盐城中学2014届期中)已知一块半径为厂的残缺的半圆形材料ABC
2、,O为半圆的圆心,OC=-rf残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角2形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在入3上.要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值.(第17题甲图)(第17题乙图)变式训练1：(南京金陵中学2014年高三第一学期期中)如图，某自來水公司要在公路两侧铺公路!公路I设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路厶，在路南侧沿直线铺设线路4现要在矩形区域ABCD内沿直
3、线将厶与“接通.已知AB=60m,BC=80/??,公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设乙EFB現矩形区域内的铺设水管的总费用为W.（1）求W关于a的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角a.变式训练2：（山东省淄博2014届期中）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位:米），其屮容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为晋立方米，且L＞2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3T•元，半球形部分每平方米建
4、造费用为c（c＞3）千元.设该容器的建造费用为y千元.（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r.变式训练3：（南通中学2013期中考试）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以43为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以A3为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB=2m,ZEOA=ZFOB=2兀（0＜兀＜笳现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BQ上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相
5、应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2匕节能灯的比例系数为£伙＞0）,假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和.（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当兀取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？导数在图形应用题中的运用探密例1.（苏州中学2014届月考）某建筑公司要在一-块宽大的矩形地面（如1+at11+at2lat・・・^MON的面积S(r)=
6、1+at22at(1+赤)=d2)24at(II)St)=+2ciF—14at2(加2+1)(3加2一］)4at2图所示)上进行开发建设，阴影部分
7、为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上)，公共设施边界为曲线/(x)=1-ax2(a>0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,切曲线于点P,设P(r,/(r)).(I)将AOMN(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t)；(II)若2丄，S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.解：(I)=-lax,直线MTV的斜率为-2atf・•.直线MN的方程为y-(-at2)=-2at(x-t)1-at21-at2+2at2t=lat2at令x=0,得y=1—at2+lat2=1+a尸
8、,N(0,1+at2)、因为a>0,r>0，由St)=0，得3赤-1=0,得f=亠,yJ3a当3d广—1>0,即/>—时，S‘(/)>0,当3at2-1v0,即0vfv亠时，St)v0・•・当心亠吋,S⑴有最小值.>/3dJ3a1114已知在t=-处，S⑴取得最小值，故有-^=-^.a=-,2J3a234i
9、(1+T~)2故当a=Tt=2时,SW,nin=S(3)=4~Y~=§4,32例2.(盐城中学2014届期中)已知一块半径为厂的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=-r,残缺部分位于过点C的竖直线的
10、右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角2形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在入B上.要使截111的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值.(笫17题屮图)(第17题乙图)解：如图甲，设ZDBC=a,1r3/*则BD=
