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《【精品】浅谈微分中值定理的推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈微分中值定理的推广摘要：微分中值定理的应用十分广泛，木文较系统地从儿个方面归纳总结了微分中值定理的推广：一-是将传统微分中值定理推广到有限个函数的情形；二是将一元函数的微分小值定理推广到二元函数的情形；三是将有限区间上的中值定理推广到无限区间上，得出微分中值定理推广的相关结论，使得对于微分中值定理的相关研究变得更加丰富、深刻和系统。关键词：微分；屮值定理；推广1传统微分中值定理微分屮值定理是数学分析屮微积分的重要定理，它在应用导数来研究函数以及曲线的某些性态中具有十分重要的作用。我们主要讨论
2、一元微分中值定理，包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)屮值定理和柯西(Cauchy)屮值定理三大定理。定理1(Rolle定理)若函数f满足如下条件：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)o则在(a,b)内至少存在一点J使得f‘(©)=Oo定理2(Lagrange定理)若函数f满足如下条件：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点g,使得b-a定理3(Cauchy中值定理)若函
3、数f、g满足如下条件：(1)在闭区间8,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)fz与g‘在(a,b)内不同时为零;(4)g(a)Hg(b);则在(a,b)内至少存在一点g，使得厶弹=/片供传统微分中值定理主要应用有：求不定式极限、求函数的极值与最值、讨论函数图像的性质等，在此不做详细举例。传统微分中值定理十分重要，它是用一元函数导数或微分解决实际问题的桥梁。然而，它的条件比较苛刻，适用范围也十分有限，故对其进行推广，使微分中值定理的适用范围更广泛。2有限个函数的广义微分中值定理2.1
4、有限个函数的广义Rolle定理定理4(广义Rolle定理)设有n个函数(兀)，厶(兀)，…，九W，在闭区间8,b］上连续，在开区间(3,b)内可导，则侗-九⑹(心12・・同线性相先即存在n个不全为零的实数如人,…人，使得(1)£人加)-Ml=oi=l(2)/=!证明先证⑴成立。考虑D个实数,A(6Z)-X⑹(心1,2,…司。事实上，若此n个实数全为零，则显然存在不全为零的实数备易，…人满足⑴式，此时,线性相关；若有一个£血)-/・0)工0,则对于不全为零的工砒力⑹-去(“川/=1,2,…”且/•
5、幻)取入=-闫心“、即可。设F(x)=2>/6),则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F(b)-F(a)f=l二X入匕⑹-/3)］=0，故由罗尔定理可知存在(a,b),有£&£(歹)=0o/=1/=1我们可以看到，在广义罗尔定理中，若令n二2，则有人［/")-£(“+剧九⑺)-力3)卜0令f2(x)=xj(x)=/(x),则有竺-M=_A(s然&ho,若不然，则人b-ciZj二0，不满足(1))，即为拉格朗日中值定理。例1/；⑴，f2(x)9f3(x)在“问上连续，在仏b)内可导
6、，且/l(d)+/l(b)H/2(d)+/2(b)，试证存在张仏①，使得77lzQb§z(z(z(厶厶•厶/2)f2(a)厶(。)证明记F(x)=Z0)f2(b)厶@)f(x)•7*2⑴厶(兀)二[£@)+£◎-厶⑷一厶◎]/；(兀)+也⑷+厶@)一£⑷一/@)]£(兀)+[£⑷+的)—加_砂仏⑴令人=,2⑷+心@)—[厶⑷+厶⑷]人二人⑷+f3(b)一[f}(a)+f、(&)]人=f(a)+fi(b)一[厶⑺)+fi@)]则人,易,入不全为零。由定理4知，存在gw(a,b),使
7、得：3》必&)=0/=1即尸©=0。2.2有限个函数的广义Cauchy中值定理我们注意到，泄理3中的第⑶条要求f(X)与g'O)在(a,b)内不同时为零,这一条件比较苛刻，使使用范围受到限制。如f(x)=x3,g(x)=x5f它们在[-1,1]±连续，在(-1,1)内可导，且存在g=±卫5丘(一1,1),使得于(1)_/(_1)=£112=],但此时，/(())=
8、Cauchy中值定理推广之一)如果f(x)9g(x)在闭区间[a,b]±连续,在开区间(a,b)内可导，且g(d)Hg(b),则在(a,b)内至少存在一点歹，使得g(b)—g(d)'进一步，若»(歹)工0,则有g(歹)g(b)-g(a)证明作辅助函数F(g(W⑷-瑞翔[g(g⑷]。可以看出F(x)在［a,b］满足罗尔眾理条件，故存在兵(处),有F(g)=y⑷-(§)=0,于是⑶式成立，若g'(g)H0,则⑷式成立。定理5(有限个函数的广义Cauchy屮值肚理)设函数/心/⑴，…，/®,满足(1)
