2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题1 新人教版

《2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题1 新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第11章比例与相似试题1新人教版11.1.1★在中，角平分线与交于，，，，求、之长度(用、、表示)．解析如图，易知有，，故，．11．1．2★已知：等腰梯形中，、分别是腰、的中点，，且交于，求证：．解析如图，不妨设，则，，故，．11．1．3★在中，，的平分线交于，过分别作、的平行线交、于、，和的延长线交于，求证：．解析如图，由，及平分，知，故，因此．11．1．4★设为的边的中点，过作一直线，交、或其延长线于、，又过作，交的延长线于，则．解析由平行知．于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．11．1．5★已知是平行四边形内的任意一

2、点，过点作，分别交、于、，又过作，分别交、于、；连结，交于；连结，交于．如果，求证：平行四边形是菱形．解析如图，易知，．由于，，故，于是，四边形是菱形．11．1．6★中，．是的角平分线．是的中点，过作直线平行于交、或延长线于和．求证：．解析如图，易知比靠近，在上，而在延长线上．易知，而，故，同理，也是此值．评注不用比例线段的方法是：延长一倍至，则，再证和均为等腰三角形．11．1．7★凸四边形中，，，平行于交延长线于点，平行于交延长线于点，连结、，证明：．解析如图，设、交于，则由平行线性质，知，，同理，，故，故．11．1．8★★如图，在中．，、为的三等分角线，交的平分线于、，连结并延长交于

3、，求证：．解析易知关于对称．又设，则，故，于是由角平分线之性质，知，于是．11．1．9★★梯形中，()，和交于，过作，交、于、，和交于，过作，交、于、．求证：．解析，故，同理，故，同理，两式相加并整理即得结论．11．1．10★设、、分别是的三边的长，且，求它的内角、．解析由条件，得，即，所以．如图，延长至，使，于是．因此在与，，且为公共角，所以∽，．而，故．11．1．11★设凸四边形，对角线交于，过作直线与平行，交、及延长线于、、．若，，求．解析延长与延长线交于，则有．设，则，代人上式，便得．故．11．1．12★★为等腰三角形底边上的高，为的平分线，作于，又作与直线交于，求证：．解析如图

4、，设，，则由角平分线性质知，故．又取中点，连结，，，故，，故，从而，故．于是．11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析设运动员在矩形球场内，如图(a)，过作，在上，在上，则，或．又设灯高为，运动员身高为，点处的灯造成的影子长为′，如图(b)，则，得，同理，故四个影子的关系是．跳起来时，不妨设脚底离地，此时点处的灯造成的影子长度为′″，如图(c)，则，，于是，同理，所以′+=仍旧成立．11．1.14★★求日高公式．解析如图所示，设太阳高度为，杆′=直立在地上，影子的长度分别为，′′，两杆距离为．所谓日高

5、公式就是用、、、表示，这里假定大地为平面，且、′′与在同一平面上．易知，代入得，故；同理，′．由′′，代入得，由此解得．11.1.15★★设梯形ABCD，E、F分别在AB、CD上，且，若，，，，梯形和梯形的周长相等，求．解析如图，作平行四边形，在上，则，．设与交于．易知梯形的周长为的周长加上6，梯形的周长为梯形的周长加6，故的周长=梯形的周长，也即周长的一半即．又，故．，．11．1．16★★如图，已知中，、交于，、交于，过作，交于，交于，求证：．解析设与交于，与直线交于，则．于是．11.1.17★四边形为正方形，、在延长线上，，，、分别是、与的交点．求证：为等腰三角形．解析如图，不妨设正

6、方形边长为1，则，，．作，交于．则．于是，即为直角三角形斜边之中点，于是．11.1.18★★在中，，，，是内一点，、、分别在、、上，且，，．若，求．解析如图，延长交于′(同理定义′、′，图中未画出)，设，则，同理，，，由于，故，．11.1.19★内有一点，的延长线交边于点′，的延长线交边于点′，的延长线交边于点′．若，求的值(用表示)．解析如图，设，，，则，而，即，展开得，故．11.1.20★已知的三边长分别为、、，三角形中有一点，过作三边的平行线，长度均为，试用、、来表示．解析设延长后与交于′(同理定义′与′)，则，同理，，三式相加，得，所以．评注存在的条件是，，，代人得：、、可组成三

7、角形三边之长．11.1.21★已知、、分别是锐角三角形的三边、、上的点，且、、相交于点，．设，，，，求的大小．解析由熟知结论，得，因此，即=24．11.1.22★如图，正方形边长为1，为延长线上一点，与、分别交于点、，(点是与交点)与交于点，若，求的长．解析连结，则由，得，于是，，为中点，所以．11.1.23★★如图，已知，、分别在、上，则下面任两条可推出第三条：(1)、、共点；（2）；（3）．解析(1)，(2)(3)：，则，故．（