2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第16章 几何变换试题 新人教版

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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第16章几何变换试题新人教版16．1．1★设是边长为2的正三角形的边的中点．是边上的任意一点，求的最小值．解析作正三角形关于的对称图形．是的对称点，故是的中点．，如图所示，则.连结，易知，所以．所以，的最小值是．16．1．2★★已知中，．试在的边、上分别找出一点、，使最小．解析作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连与、分别交于点、，则、即为所求，如图所示．事实上，对于、上的任意点，，．评注因为，所以所作线段必与线段、相交．16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的

2、周长不小于斜边上高的两倍．解析如图所示，设在直角三角形中，是斜边上的高，是它的任一内接三角形．将以为对称轴反射为，此时反射为，再将以为对称轴反射为，此时反射为延长交于．易知，所以，即，且是两平行线与之间的距离．所以.16．1．4★★★在内取一点使，．设，．求.解析本题中为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作的高与直线交于点由对称性知，，所以，从而，因为，又，所以≌，于是，所以．16．1．5★★在中，是高，在边上，已知，，，求的面积．解析作的关于的对称图形，作的关于的对称图形．分别延长和，它们相交于，如

3、图所示．易知，且，．所以，四边形是正方形．设正方形的边长为，则，．在直角三角形中，由勾股定理知．．解方程，得，即．所以．16．1．6★★★如图，凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条边上，求证：的周长不小于．解析作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，而、、、四点的对应点如图所示．显然，，，故，所以四边形的周长．即四边形的周长不小于．16．1．7★★★如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，，现固定而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位

4、置，线段上必存在点使力等腰直角三角形．解析如图，设为等腰直角三角形，下面证明点在线段上．作关于的对称点，则．因为，所以，又．所以又是关于的对称点．同理也是关于的对称点，因此，，又因，所以．即在上（且为的中点）．16．1．8★★★如图，矩形中，，，若在、上各取一点、，使的值最小，试求出这个最小值．解析作关于直线的对称线段，即、关于对称，作关于的对称点，则在上，且有于，于．由对称变换可知，.欲使最小，必须共线，所以最小值为点到的距离.在中，，，所以，则．在中，．又，在中，，则．从而的最小值为16．16．1．9★★凸四边形中，，

5、．求证：.解析将沿翻折，点落在点．因为，，所以必定在内部．延长线交于点，则.16．1．10★★设表示凸四边形的面积，证明．解析如图，作点关于的垂直平分线的对称点，显然与关于成轴对称图形．所以，.16．1．11★★在矩形内取一点，使，试求的值．解析如图将沿平移至，显然，．所以，由已知条件，即、、、四点共圆，从而．16．1．12★★设是平行四边形内一点，使得，证明：．解析如图，把平移至，则，及，，所以．又已知，故，从而、、、四点共圆．于是，又，所以．16．1．13★（1）如图（a）所示，在梯形中，.已知：，，，求梯形的面积．（

6、2）如图（b），在梯形中，．是的中点，于．设，，求梯形的面积．解析（1）将平移到，连结，则，．所以．．因此．因为，所以．（2）将平移至，如图（b）所示，过点．由于≌，所以．评注本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．16．1．14★★如图，在四边形中，，、分别是及中点，的延长线与及的延长线分别交于点、．求证：．解析1如图（a），将线段平移至．则四边形为平行四边形．由于是中点，故、、共线．现在是的中位线，故，所以，．又显然．故．于是．解析2如图（b），连结，取中点为，连结、，则、分别为、的中位线，所以，．故，，且，故，所

7、以．16．1．15★★如图，，、、均垂直于，垂足为、、，，，，．求的值．解析将平移到，在线段上，延长交于，将平移到，在上．因为、、均垂直于，所以四边形和都是矩形．由，，得．又，所以，，．所以≌，，．于是，，．在中，，，也即．16．1．16★★在正三角形的三条边上，有三条相等的线段、、．证明：直线、、所成的三角形中，三条线段、、与包含它们的边成比例．解析如图，将平移到，连结、、．因为四边形为平行四边形，所以，，故为正三角形，．这样所得四边形为平行四边形，．因此，由、、这三条线段构成的三角形与全等，而≌，从而命题得证．16．1

8、．17★★如图所示，且共点于，，求证：．解析将沿方向平移长的距离，得，将沿方向平移长的距离，得．由于，，所以．又因，故与重合，且、、三点共线．在正三角形中，．16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点引它的高和，已知，，求点到的垂心的距离．解析令表示的垂心．考虑到，，有．同理有，因而四边形，为平行四边