2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第14章 共点线与共线点试题 新人教版

《2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第14章 共点线与共线点试题 新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第14章共点线与共线点试题新人教版14.1.1★★设等腰直角三角形，，是中点，在上，，求证：.（试用梅氏定理证明）解析如图，设与交于，则，由梅氏定理，，得，又，故∽，故.14.1.2★设是锐角三角形的边上的一点，，是边上的一点，，与相交于点，求.解析由梅涅劳斯定理，，得，，故，.所以.14.1.3★证明：锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上.解析设的三条高线为、、，在、、、上的身影分别为、、、，欲证、、、共线，先证、、共线.由梅氏逆定理，知该结论为真，即，最后一步是由于∽.同理，

2、、、共线，故、、、四点共线.14.1.4★已知是的高，在内，且，，作与垂直，与垂直，、分别是垂足，连结并延长，交延长线于，求.解析如图，设，则由梅氏定理.又由身影定理，，，于是，得.14.1.5★★如图，已知锐角三角形，是高，在、上的垂足分别是、，延长后交延长线于，若，求.解析由图知，，故..由梅氏定理及身影定理，有，，，故，即，移项并因式分解，得，于是，即是所求答案.14.1.6★证明，两内角、平分线分别交对边于、，而的外角平分线交直线于，求证：、、共线.解析如图，既然的外角平分线直线相交，说明，不防设，则在延长线上.由角平分线性质知，故由梅氏逆定理知、、

3、共线.14.1.7★★已知不等边三角形，、、的平分线分别交对边于、、，的中垂线与直线交于，同理得到、，证明：、、共线.解析如图，不妨设的中垂线与延长线相交，连结，则，于是，因此∽，于是.同理，，于是，由梅氏逆定理，知、、共线.14.1.8★★已知：是的边上一点，是上一点，、分别在、上，与交于，与交于.求证：若，则.解析如图，由梅氏定理，.于是.由于，故，于是，故.14.1.9★已知的面积为，点、在上，且∶∶∶∶，点在上，且∶∶，、分别与交于点、，求四边形的面积.解析这类题目基本且典型，显然有，而，于是下求.由梅氏定理，有，代入已知数值得，于是，从而.又由，即

4、，得，从而，于是，故.14.1.10★★★已知不等边锐角三角形，、是高，且位置如图所示，与中位线交于点，点、分别是的外心与垂心，求证：.解析一个熟知事实是，.延长交直线于点，则有，延长交于点，于是只需证明∽，即只需证.由于，问题归结为，下面计算与.由梅氏定理知，于是.因，由正弦定理有，故上式为.证毕.14.1.11★★★如图，已知、是圆的两条切线，为圆的一条割线，交于，在上，，交于，求证：.解析易知、、、为调和点列，于是.（见题12.3.13）由梅氏定理，，因此.14.1.12★★★已知为的直径，弦，弦与交于，，求证：平分.解析如图，无非要证明，或证明，或证

5、明.设与交于，与交于.由梅氏定理，，得，故，即，得，证毕.14.1.13★★★证明牛顿定理：设中，、分别在、上，、交于，则、、的中点在一条直线上（牛顿线）.解析设、、的中点分别为、、，则易由中位线知、、共线，、、共线，、、共线.且（后者是截所得）.故由梅氏逆定理，知、、共线.评注此题亦可由面积证.14.1.14★★★★设等腰直线三角形中，，是三角形内一点，，连结并延长至，使，是中点，直线分别与、交于、，求证：是的中点.解析如图，延长、，分别交直线于、，设，，，则由梅氏定理，有，而，故，即，或，或.又由梅氏定理，，此即，所以，于是.14.1.15★★★★设的边

6、的中点，，是射线上一点，满足，是射线上一点，且与在边的同侧，满足，与交于，与交于，求.解析设边长分别为、、，由梅氏定理，，由于，，，故，.接下去处理.延长与交于，则，故，，，又由梅氏定理，，得，故平分，.故答案为.14.1.16★★★在中，，为的中点，以为直径的圆交、于另一点、.分别过点、作圆的切线和.证明：、和直线共点.解析如图设交直线于点，与直线交于点.由条件，及圆以为直径，可知，于是.①为证、与直线共点，只需证明与重合.我们下证：.利用，可知∽，故，于是.同理可证.于是，其中为与的交点.对考虑割线，运用梅涅劳斯定理，可知，结合，可知，从而.再由①可知，

7、综合上式，得.命题获证.§14.2塞瓦定理14.2.1★已知，向外外作长方形、、，又设直线与直线交于，直线与直线交于，直线与直线交于，则、、共点.解析如图，设延长后交于，同理定义、（图中未画出）.连结、，则，同理，，故，、、共点或平行，由于、、均在内，故平行不可能.14.2.2★已知内有一点，今过点作一直线与关于的角平分线对称，同样，过点、分别作直线、，求证：、、交于一点.解析如图，设与直线交于，则，同理，，.于是，由塞瓦逆定理，即知、、共点.这个公共点，称为的等角共轭点.14.2.3★已知，向外作相似的等腰三角形、及，其中、、是顶角.求证：、、交于一点.解

8、析如图，不妨设与交于，同理定义、.设，则，由塞瓦逆定