2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题2 新人教版

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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第11章比例与相似试题2新人教版11．2．5★在锐角三角形中，是是一点，满足，过作，为垂足，证明：．解析由条件知∽，且，又，故∽，于是．11．2．6★已知正方形，点和分别在上，且，与垂直于，求的取值范围．解析易知∽，故有．又，故∽，．11．2．7★在中，，点是内的一点，使得，且，，求．解析由条件易知，又，故∽．．因此，．11．2．8★如图，在直角三角形中，斜边的长为35，有一个边长为12的正方形内接于，求的周长．解析设，，则．又∽，所以，，即，故．所以，，解得(另一个解-25舍去)．所

2、以三角形的周长为84．11．2．9★★是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：．解析如图，连结、，交于，则，，而，，，故∽，这是顺相似，所以∽，．11．2．10★★如图，，，，与分别是与的高，点与分别为与的垂心，求证：被平分．解析本题即是证明，这可以转化为求证或．很容易看出∽，故．由于四边形是矩形，有，，于是结论成立．11．2．11★★已知，向外作正方形和正方形．若，求证：．解析如图，不妨设与、分别交于、，于是，，∽，，两边同时减去，得，于是．评注本题也可通过、向直线作垂线，并通过全等三角形来证明．与或不相交是不可能的，这样、将在直线

3、的异侧．11．2．12★★中，，，求的取值范围．解析如图，设三对应边分别为、、，延长至，使，于是，∽，故，即，从而．接下去考虑三角形不等式，显然，也显然，，即，或，故．又，故．因此，的取值范围是．11．2．13★★已知正三角形，在上，，在上，求证：．解析如图，不妨设，，，则．又设，，则，，解得．于是，∽，故有．11．2．14★★已知锐角，是高，，，是中点，作与延长线垂直且交于，若在的中垂线上，求．解析如图，设中点为，由于，故∽∽，所以，．设，则由，得，，所以，，，．11．2．15★★如图，直角三角形中，，是角平分线，于，则；．解析延长与交

4、于，易知．由于，故∽，于是．又作关于之对称点，则．由于∽，故．11．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似?解析如图，设．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设，则于是可在上取一点，使；在上取一点，使．易知∽，∽．11．2．17★★设凸四边形的对角线、的交点为．过点作的平行线分别交、于点、，交的延长线于点．是以为圆心，为半径的圆上一点．求证：．解析延长、交于点．由得，即．同理，得，即．所以．由条件得，所以，因此可得∽，则有．11．2．18★证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的

5、三角形，与原三角形相似．解析如图，中，、、是高，在、上的射影分别是、．则．又，故，故有∽．评注本题亦可用四点共圆证明．又本题将画成锐角三角形，若为非锐角三角形，结论不变．11．2．19★★★点、分别在、上，与交于，若，且，，求．解析如图，延长至，使，连结．于是由，得，故、、、共圆，有，于是．11．2．20★★★已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与一个相应的红色部分相似(或全等)．解析如果两个三角形可以分别划分成个小三角形，使对应的组三角形均相似(或全等)，则称这两个三角形是“相似”的，于是

6、，立刻可以得出如下结论：“1相似”即“相似(或全等)”．“相似”可推出“相似”．以下先证一个结论：对与′′′，若′，则它们是“2相似”的．证明如下：由前知，∽′′′，则其“2相似”，否则，不妨设′，则′，可在、′′上分别找点，′，使′，′′′，于是∽′′′，∽′′′,结论证毕．现对于一般的与△′′′，不妨设以最大，最小；△′′′中′最大，而且′(′就不要做了)≥，则，如图，今在同侧作∽′′′，使′，′，则在外，设与交于，则与“2相似”，故与“3相似”；又∽△′′′，故与′′′“3相似”．11．2．21★★如图(a)，，，，，，现有点在直线

7、上，并且满足条件：与相似，求的长度．解析设．分三种情况讨论：(1)在延长线上时，如图(b)，只能是∽，则，即，解得；（2）在延长线上，如图(c)，是∽或∽，则或，即或，解得或2或8.4；(3)在延长线上，如图(d)，是∽或∽，则或，即或，解得或；综上所述，这样的点有六个，的长分别为，2，8.4，12，42或+7．11．2．22★★★设四边形的对角线交于点，点、分别是、的中点，点、(不重合)分别是与的垂心，求证：．解析如图，不妨设（）(其余情形请读者自己讨论)，并不妨设与的延长线交于点．取中点，连结、．易见，从而，同理可得，于是．对于与来说

8、，对应角已有一组相等，对应边已有两组垂直，如能证明它们是(顺向)相似的，则立得第三组对应边垂直，即．于是，问题归结为求证或．设，于是，此处点和分别为点及点在上的垂足．又，故，同理，即得．11．