2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第15章 面积问题与面积方法试题2 新人教版

《2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第15章 面积问题与面积方法试题2 新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第15章面积问题与面积方法试题2新人教版15.1.43★★已知凸四边形的边、上各有一点、，满足，与交于，与交于，求证：.解析如图，问题可转化为求证.下证此式：记，则由定比分点，在.15.1.44★已知：中，是角平分线，、分别在、上，且，求证：，并用三边表示.解析如图，由∽∽，得，.于是，故.又设的对应边长为、、，则，，，同理，故.15.1.45★★已知，，、在上，，，求.解析如图，设，，则.由三角形内角和，，得.，.由，得.15.1.46★★★已知，，.点在内，使得，，，求的面积.解析如图，作∽，由于，故相似比为，于是，.，结合知，，

2、于是.所以，从而.于是，故.15.1.47★已知矩形，、分别在、上，，，，若，求矩形的面积.解析如图，易知，∽.设，，则，，，由条件，知，展开得，，.15.1.48★★一个凸四边形的边长依次为、、、，两条对角线相交所成的锐角为，求该四边形的面积（用、、、和表示）.解析如图，不妨设，，，，与交于，（），则由四边形的“余弦定理”（见题13.1.7）：，于是.一般地，有，当时，四边形面积不定.15.1.49★★若一正方形的两个相邻顶点在一三角形的某条边上，另两个顶点分别在另两条边上，则称这个正方形是该边上的内接正方形，现有一不等边三角形，、边上的内接正方形边长都是，求.解析如图，四边形是正方形

3、，边长为，，为高，设为，则.现在回到原题，设三对应边长为、、，对应高为、、，对于、边上的正方形，有.考虑到，故有，而，，代入，有，而由题设，故，.易知，故.15.1.50★★中，、、分别在、、上，若、、、分别为1、2、3、4，求.解析如图，设，，.则，，，，同理，，.于是，，故，解得.由，得，由，得，易知均符合要求.评注读者可考虑何时具有唯一解.15.1.51★★梯形中，，，在上，，在上，若把梯形分成两部分的面积之比为，求的值.解析如图，由于未讲清部分是，哪部分是，故本题可能有两解.不妨设，则，，.又设，.于是有（1）或（2）由（1）解得由（2）得负解，舍.故.15.1.52★★★中，，

4、是的平分线，点、分别在、上，交于点，若，，，，求四边形的面积.解析易知，，.连结，由，得，，连结.由，得，故，，.又，，由角平分线性质，知，于是.15.1.53★★中，、分别在、上，且，，为中点，为与之交点，延长交于，求.解析如图，由梅氏定理，即，又，即.设，.由，得，即，于是.15.1.54★★在的边上取点，上取点，使，，再在线段上取点，使，今延长交于，用、、表示.解析如图，连结、，则.又，，故.15.1.55★★设正方形面积是，、上分别有点、，且，，又设、分别交于、，求四边形的面积.解析如图，延长、交于，则.而，.又，故.15.1.56★★★已知中，、分别是角平分线和中线.垂直陈于，

5、交于，交于，求证：.解析如图，连结、.易知，，故.于是，.因此，，所以.15.1.57★★★如图，已知点、、、共圆，且，，，求证：只与、有关.解析延长至点，使，设，，易知∽，于是，又由，因此.由于，又，故，，所以.15.1.58★★★已知的三边、、上各有一点、、，且满足、、交于一点，若、、的面积相等，求证：是的重心.解析如图，不妨设三个三角形面积为，而、与的面积分别为、、.由塞瓦定理知.（1）若、、互不相等，不妨设，则，，但，矛盾.（2）若、、中有相等的，不妨设，则，，由得，于是，、、为各边中线，为重心.15.1.59★★已知中，点在边上，，，，，求；又若、、长度不变，当达到最大时，求.

6、解析如图，延长至，使，则，，中，，，，，，又与等高，故，所以.当面积最大时，，，作，则，于是，，，.15.1.60★★已知中，，点满足，，求证：与面积相等.解析如图，不妨设、在两侧，作使，，于是，，这里为内心，就是的边外的旁心，且有≌.设旁切圆半径为，则，为至距离，于是与至等距，所以.评注请读者自行验证.15.1.61★★已知：是锐角三角形的垂心，、、是高，求证：.解析如图，由于，故，同理，，.三式相加，得，整理便是欲证式.评注注意到等，故，此式对于钝角三角形也成立.15.1.62★★★在四边形中，对角线中点连线的延长线交于，求证：的面积等于整个四边形面积的一半.解析如图，设对角线交点为

7、，不妨设、的中点、分别在、上.连结，则.，，故.剩下，连结，则.于是.15.1.63★★已知中，在上截取，上截取，上截取，求证：的面积与的面积相等.解析如图，不妨设，，，，，（注意、、可零可负）.问题变为证明，或证明，或.由正弦定理，上式相当于.展开即知这是恒等式，故.15.1.64★★在直角三角形中，，，，是上一动点，在上，从点开始向运动且保持，试写出与点运动时与点距离的关系式.解析如图，过点作，交直线于，则有∽，得.由，令，则，