初中数学竞赛专题复习-第二篇-平面几何-第15章-面积问题与面积方法试题1-新人教版.doc

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1、第15章面积问题与面积方法15.1.1★如图，（b）、（c）、（d）、（e）中直线与直线交于点，则：（a）中有；（b）、（c）、（d）、（e）中有.解析只要作相应的高，并运用比例即可.15.1.2★若中有一点，延长、、，分别交对边于点、、，则.解析如图，易证，，，三式相加即得结论.15.1.3★求证：若点、、、是一直线上依次的任意四个不同点，点是直线外一点，则有.解析如图，，，两式相乘，即得结论.评注这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调

2、和点列，此时，这种情形在几何中十分常见.15.1.4★★如图，设，，，试用、、表示.解析用面积比或梅氏定理得出，，于是以及与的表达式，最后算得.15.1.5★★已知为的角平分线上任一点，、延长线上分别有点、，，，求证：.解析如图，连结、.至、距离相等，即，由，，有，故，于是.15.1.6★★在的两边和上各取一点和，使得，与交于，求证：是的平分线.解析如图，易知，又，故至的距离与至距离相等，于是平分.15.1.7★★已知的边、、上分别有点、、，且、、共点，求证：.解析如图，设，，，则由塞瓦定理知.又知原式

3、等价于证明，而，同理，，，于是问题变为证明，去分母、考虑并移项整理得上式等价于.这显然成立，取等号仅当，此时、、为各边中点.15.1.8★在凸四边形中，，，，，，求四边形的面积.解析如图，，故本题只有一解（否则可能为钝角）.今延长、交于，则为等腰直角三角形，.又作，则..又，故.于是.15.1.9★★锐角中，，向外作正与正，设与交于点，与交于点，又与交于点，求证：.解析结论转化为，两边同时除以，转化成线段之比，即求证，上式又等价为.这是成立的，因为左式右式，此处用到了与.15.1.10★在等腰中，，、分

4、别在两腰、上，，与相交于点，四边形的面积为，求的面积.解析如图，连结，设.易知，，于是，，，，又，故，.15.1.11★设、、为锐角的三条高，若平分的三条高，若平分的面积，求证：.解析如图，由条件知，由于∽，，故，.又由相似知，故，.又∽，得，于是，结论证毕.15.1.12★★★设是内心，在、、上的身影分别是、、，延长后，交于，延长后与交于，求证：.解析如图，连结、，本题等价于证明.而，，由知，于是只需证明.由，结论得证.15.1.13★★★已知：锐角三角形，向外作正方形、，、交于，求证：.解析1如图（

5、1），作，我们证明、、共点.由于，，，故，而，.设、交于，、交于.于是，故结论成立.解析2如图（2），设是高，在延长线上分别找点、，使，.易知≌，，同理.的三条高在、、直线上.因此、、三线共点.15.1.14★★★求证：存在一个面积为的四边形，使形内任何一点，、、、至少有一个是无理数.解析如图，作梯形，，，，与的距离为.则.设是内部任一点，则与中至少有一个是无理数.否则，若与均为有理数，设分别为、，则，整理得一个关于的二次方程，系数可以是整数.但决不是这个方程的根，矛盾.因此与中至少有一个是无理数.15

6、.1.15★★设中，，点为其内部任一点，求证：.解析此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.如图，设（，）、（，）、（，）、（，），则（，），于是.15.1.16★★四边形的两条对角线垂直且交于点，、分别与、垂直，延长、，分别与、交于点、，求证：.解析显然可将待证式改为.由于.同理，也是此式.于是结论成立.15.1.17★★已知凸五边形满足，，，，，求五边形的面积.解析如图，作点关于的对称点，于是，，分别作和的角平分线，设交于点，则、分别垂直平分、，则点是的外心.又由于，，因此.又由于，，因此，点为斜边

7、的中点.由≌，≌，以及≌得.为求，只需注意，，因此作点关于的对称点（图中未画出），有≌，于是.15.1.18★★凸四边形中，、分别在、上，、将三等分，且，求证：.解析如图，连结、、.由，（这是因为）知：.由于，故.因此，亦即.由知，.而，故，因而、为、中点.由此可得、分别为、的中位线，即，.因此四边形为平行四边形，所以，，而，故，由此得四边形为平行四边形，故.15.1.19★★★为的内心，、分别为、的中点.与延长线交于，延长线与延长线交于（如图），，求.解析设，，，，，内切圆半径为.由得.而.又.所以，

8、即.同理，对用同样的方法可得：.两式相乘，利用得：，即.所以，.15.1.20★★已知、为直角三角形（）的角平分线，交于，求.解析设，，.由内角平分线性质，有，故，，，于是.而，故，.同前面类似的算法可得：，故.利用，.15.1.21★★点为正三角形内一点，，，，试用、、表示.解析分别把、、绕点、、顺时针旋转，得、、三点，则、、是边长分别为、、的正三角形，而、与是边长各为、、的全等三角形，最终得，此处.15.1.22★在凸四边形中有一点，满