2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第18章 整数几何试题 新人教版

《2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第18章 整数几何试题 新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版18.1.1★已知的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值．解析由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件．设第三条高为，则解得，可取4、5、6、7这四个值．18.1.2★已知的三边长分别为，，，且边上的高的长为，其中为正整数，且，问：满足上述条件的三角形有几个？解析注意为之最长边，故，设，，则，而可正可负．由，及，得，，由勾股定理，知，展开得，由及为正整数，知，2，…，12，这样的三角形有12个．18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直

2、角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为，求此三角形周长的最大值．解析设该直角三角形直角边长为、，斜边为，则外接圆半径，内切圆半径，不妨设．由条件知，，平方，得，即，，于是，，，或，，，周长为，为正整数．的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为．18.1.4★为不等边三角形，，，其他两边长均为整数，求的面积．解析设，，则由余弦定理，有．由条件，不妨设，则为之最小边，只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当或5时，，其余情形均无整数解．于是或．18.1.5★★一点与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过且长为整数的弦的条数．解析如图，半径为，，过的弦长为整数

3、，为直径，，，则，因此．又，故这样的弦共有条，其中与垂直的弦及各一条，其余的弦每种长度有两条（关于对称）．18.1.6★★在直角三角形中，各边长都是整数，，为边上的高，为垂足，且（奇素数），求的值（用表示）．解析由知，故设（为正整数），则，又由勾股定理，知，故．设，代入得，易知只能有，，解得，，于是．18.1.7★★设正三角形，、分别在、上，，两端延长，交外接圆于、，若、、长均为正整数，求的最小值．解析如图，易知也是整数．设，，，则，于是由相交弦定理，得，．设，，，，，则，由于，故，要使达到最小，得取，于是．由于，，，知．当，时取到最小值3，此时．18.1.8★★已知凸四边形的四边

4、长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且，求该四边形面积、对角线长度．解析不妨设，，，，与交于，则，于是由托勒密定理，知、、、必共圆，且满足．又由已知条件，，．经搜索知250表为平方和只有两组：和．由对称性，不妨设，，，，则．由余弦定理，因，得，得，于是．18.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的？证明你的结论．解析存在满足条件的三角形．当的三边长分别为，，时，．如图，当时，延长至点，使．连结，为等腰三角形．因为为的一个外角，所以．由已知，，所以．所以为等腰三角形．又为与的一个公共角，有，于是，即，所以．而，所以此三角

5、形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．评注满足条件的三角形是唯一的．若，可得．有如下三种情形：（ⅰ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，，；（ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得．解得，有，，，此时不能构成三角形；（ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件．18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？解析设三角形三边依次为、、，则，，．于是是平方数，令

6、，得，则，，．又不可能是奇数，否则，得，则，，．又不可能是奇数，否则，将，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当，8时满足要求．因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、15．18.1.11★★某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值．解析设直角三角形直角边长、，斜边为，则，．由于，设，则，设，则，于是的最小值为17，此时，，，．此时的最小周长为3808．18.1.12★★已知，是角平分线，，，也是整数，求所有可取的值．解析如图，作，在上，则易知．又，故…，故．又当时，不难通过构造出，故所有可取的值为1，2，…，17．

7、18.1.13★面积为的正方形内接于面积为1的正三角形，其中、、是整数，且不能被任何质娄的平方整除，求的值．解析设正方形的边长为，正三角形的边长为，则，由，可得．解得．于是．由题意得，，，所以．17.1.14★★如图，是的高，四边形是的内接正方形，若（即两位数），，，且、、、恰为从小到大的4个连续正整数，求的所有可能值．解析易知，于是有，或，移项，得，或，解得或5．于是有两解：易知这两组数据都符合要求，故或．18.1.15★★已知中，是锐角．从顶点向边或其延长线作垂线