2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第17章 几何不等式与极值问题试题 新人教版

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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第17章几何不等式与极值问题试题新人教版17.1.1★一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求的最大值．解析考虑这个凸行边形的个外角，有个角，故有（严格小于是由于4个钝角的外角和大于），因此，的最大值是7．易构造这样的例子。如果恰好有个钝角，则的最大值是.17.1.2★在中，，为边的高上的一点，求证：.解析易知，又，故有．评注读者不妨考虑是角平分线与中线的情况．17.1.3已知四边形，、交于，和的面积分别为3、12，求四边形面积的最小值．解析易知，故.从而，且当（此时四边形为一梯形）时等号成立

2、，所以此时四边形面积达到最小值27.17.1.4★已知：直角三角形中，斜边上的高．（1）求证：；（2）求.解析，由条件，知，且，于是.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5★设矩形，，，动点、分别在、上，且，求面积的最小值．解析设，，则。由。故.当时达到最小值．17.1.6★设是定角内一定点，过作动直线交两边于、，求证：面积最小时，为的中点．解析如图，连结，设，，，由，得。又左式，故。达到最小值时，须，故为之中点.17.1.7★正三角形的边长为1，、、分别在、、上，，求的最大面积。解析如图，设，，，则，，，。，于是问题变为求的最小值，展开

3、后约去，即求的最大值．由不等式知，当时，，此时的面积达到最大值。.17.1.8★设是边长为l的正三角形，过顶点引直线，顶点、到的距离记为、，求的最大值．解析如图，若穿过，则由“直角边小于斜边”知，取到等号时仅当.若不经过，取中点，作，在上，则，取到等号仅当.综上所述，的最大值为。17.1.9在数1、、、、、、、、、中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？解析此题可分类讨论。显然1不可能为边．由于，故，，，，，中任三数可构成三角形的三边，一共有组。当最大边为时，次大边只能为，最小边为或，有2组。当最大

4、边为时，次大边为或．次大边为时，最小边，故可取；次大边为时，最小边，可取与共有8组．当最大边为时，次大边为、、．次大边为时，最小边，可取；次大边为时，最小边，可取；次大边为时，最小边，可取和。共有11组。综上所述，总共有41组．17.1.10★设，、是上的两个定点，是上的一个动点，问当在什么位置时，最小？解析如图，设，，，不妨设。则，，故。显然当时，最小。评注容易验证，此时为的中点在上的射影。17.1.11★设直角中，，求证：.解析如图，作关于的对称点，连结、，则.取等号仅当为等腰直角三角形。17.1.12★是的边上一点，为的内心，是的内心，是的

5、中点，求证：.解析如图，连结、、、，则，，又，故，于是结论成立。评注三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论．17.1.13★★已知凸六边形中，，，，求证：.解析如图，作、、，于是出现三组全等三角形。这样便有，即.同理有.评注不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）．另外，用这种方法还能证明.17.1.14★★已知矩形，，，是上一点，、延长后交于，直线垂直于，交于，若为中点，求.又条件同上，若的长度不固定，求的最小值．解析如图，设，由∽，得，代入得。又∽，得，

6、。由，得，或，解得。若长度不固定，设其为，，，故由得，或，由得。可取的最小值是，此时为中点。17.1.15★★设为的内心，是内部的一点，满足.求证：，并说明等号成立的充分必要条件是.解析易知，因此.故、、、四点共圆，即点在的外接圆上。记的外接圆为，则的中心为的的中点，即为的平分线与的交点。在中，有，故.等号成立的充分必要条件是点位于线段上，即.17.1.16★★延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值．解析如图，标好各角，则，故总有一角，当为正三角形，、时最小角达

7、到最大值17.1.17★★凸四边形中，点、分别是、的中点，若，求证：。解析如图，连结、，易知．又，，因此，即．17.1.18★★★在三角形中，，，．是平面上任意一点，求的最小值．解析因为．下面来求．延长至，使得，连结，则，所以∽，故，所以，即，故．所以，所求的最小值为．17.1.19★★在锐角三角形中，求证：．解析当时，显然有．下面不妨设．在上取点，使．作角平分线、高，则垂直平分．又作于，与交于，则．17.1.20★★中，点为之中点，点、分别在、上，求证：．解析如图，连结、，则由，得．而，故．于是结论成立．17.1.21★★设、、为三角形三边长，

8、则对任意实数、、，有．解析设，，则，原式．它的判别式．于是．17.1.22★已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？（图中6个矩形全