2019-2020年高三期末质量检测（数学）

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1、2019-2020年高三期末质量检测（数学）一、填空题（本大题满分48分）1.复数（）为虚数的一个充分非必要条件是.2.函数，的反函数为_________.3.不等式的解集为.4.已知，则.5.过点且垂直于直线的直线的一般式方程为.6.设，则正整数的最小值为.7.已知，，则.8.已知双曲线的顶点恰与抛物线的焦点重合，则.9.函数在定义域上的值域是.10.在直角三角形ABC中，，则=.11.已知集合，，则=.12.设集合，，且，.在坐标平面内，从所有满足这些条件的有序数对所表示的点中任取一个，其落在圆内的概率恰为，则该圆半径的取值范

2、围是.二、选择题（本大题满分16分）13.椭圆的长轴长和短轴长分别是（）A.；B.；C.；D..14.已知和都是实数，则下列各集合中，可能是空集的集合个数有（）；；.A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.15.如图，EF是梯形ABCD的中位线，则以下向量中，与不相等的向量是（）第15题图A.；B.；C.；D..16.设函数的定义域为，值域为.则以下结论中，错误的是（）A.的最小值为；B.的最大值为；C.不可能等于，；D.不可能等于，.三、解答题（本大题满分86分）17.（本题满分10分）已知复数是实系数一元二次方程的根，求.18

3、.（本题满分14分）已知等比数列满足，且，.求数列中所有小于1的项的各项和.19.（本题满分14分）经测算，某燃料动力拖船在行驶中每小时的燃料费用与船速（船速是指船在静水中的速度）的平方成正比，且当船速为15（公里/小时）时，每小时燃料费用为75元.若该船在水流速度为5（公里/小时）的江水中逆流而上，从甲地行驶到30公里外的乙地.现要使总的燃料费用最少，应控制该船的船速为多少（公里/小时）？这个单程共需燃料费用多少元？20.（本题满分14分.其中第1小题满分11分，第2小题满分3分）已知：过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且直线

4、的斜率为.（1）是否存在这样的直线，使得（为坐标原点）？若存在，试求出斜率的取值范围；若不存在，试说明理由.（2）试叙述第（1）题结论的几何意义.21.（本题满分16分.其中第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分）已知函数，且满足.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.22.（本题满分18分.其中第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）若正整数能拆成（是正整数且）个成等差数列且公差不为零的正整数的和，即：，（其中正

5、整数依次成公差不为零的等差数列），则称有一个阶非平凡等差分拆，记作.并且规定：“的两个非平凡等差分拆与是相同的分拆”等价于“且集合与集合相等”.请研究并回答下面的问题：（1）有非平凡等差分拆的最小正整数是多少？为什么？（2）试写出20的一个非平凡等差分拆，并说明20的非平凡等差分拆不超过5阶；（3）素数（即质数，除了和它本身外不再有其他正约数的自然数）有非平凡等差分拆吗？若有，试举一例；若没有，试说明你的理由.上海市普陀区xx－xx第一学期高三年级质量调研数学试卷参考解答及评分标准一、填空题：（4’×12＝48’）题号1234答案

6、开放题，等题号5678答案64题号9101112答案二、选择题：（4’×4＝16’）题号13141516答案BCCD三、解答题：（10＋14＋14＋14＋16＋18）17.解：由条件，复数是给定方程的一个虚根.因为实系数一元二次方程的虚根为一对共轭复数，所以也是该方程的根.由韦达定理：，可解得，.于是，.…3…6…8…1018.解：因为是等比数列，所以.又因为，则由设的公比为，则，且可得.所以数列的通项公式为.若，则由.所以“数列中所有小于1的项的各项和”即为“等比数列从第8项起的各项和.”则…4…6.…8…11…1419.解：先

7、设每小时的燃料费用元与船速（公里/小时）的关系式为，当时，，可得.又设一个单程的燃料费用共需元.根据题意，得，.当且仅当时，元.答：应控制实际该船船速为10（公里/小时）时，总的燃烧费用最少；这样一个单程共需燃料费用200元.…3…7…11…13…1420.解：（1）假设存在这样的直线，其方程为.另设直线与双曲线的交点坐标分别为、.将直线方程与双曲线方程联立，得.可得因为直线与双曲线交于不同两点，则有.由于，可得…3…5.综上，当时，可使得.（2）上题结论的几何意义是：当直线的斜率在区间时，直线与双曲线的交点、与原点构成的为锐角.

8、…7…9…11…1421.解：（1）函数满足，可得或；又，所以.（2）因为，所以，由题意只需研究在上的单调性，该函数在区间内为单调递增函数.证明：任取，有由于，，，，，即.故函数在区间为增函数.（3）解法1：原方程即为----①显然，恒为方程的1个