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《2019-2020年高三数学 知识点精析精练23 空间的距离》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高三数学知识点精析精练23空间的距离【复习要点】空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化
2、成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.【例题】【例1】如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足连结
3、QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=在Rt△QAE中，QA=PA=c∴QE=∴Q到BD距离为.(2)解法一：∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=∴AH=∴P到平面BD的距离为解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VA—BQD=VQ—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQh=【例
4、1】把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－a,0)，B(a,0,0)，C(0,a,0)，D(0,0,a)，E(0,－a,a)，F(a,a,0)∴∠EOF=120°【例1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与A
5、B1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面
6、A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.【例1】如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱,、分别是与的中点，点在平面上的射影是的的重心。（1）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点到平面的距离。解：（1）连接，则即为与平面所成的角，设，，在中，则，∴则∴与平面所成角的大小为。（2）、设点到平面的距离为，∵，∴由，即。【例2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形
7、BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（1）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；（3）求点C1到平面A1CB的距离.证：（Ⅰ）因为四边形BCC1B1是矩形∴BC⊥BB1，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1，∵BC平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1.解（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连接DC，∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D∴A1D⊥
