三角函数求值域专题精讲

《三角函数求值域专题精讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：（1）一次函数型：或利用为：，利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，（1）：，（2）（3）.函数在区间上的最小值为1．（4）函数且的值域是___（2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解；二倍角公式的应用：如：（1）（2）函数的最大值等于．（3）.当时，函数的最小值为4．（4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1．（5）.若，则的最大值与最小值之和为____2____．（3）借助直线的斜

2、率的关系用数形结合求解；型如型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例1：求函数的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。解法2：将函数变形为，∴由，解得：，故值域是解法3：利用万能公式求解：由万能公式，，代入得到则

3、有知：当，则，满足条件；当，由，，故所求函数的值域是。解法4：利用重要不等式求解：由万能公式，，代入得到当时，则，满足条件；当时，，如果t>0，则，此时即有；如果t<0，则，此时有。综上：此函数的值域是。例2.求函数的最小值．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．（4）换元法．代数换元法代换：令：再用配方、例题：求函数的最大值．解：设，则，则，当时，有最大值为．（5）降幂法型如型。此类型可利用倍角公式、

4、降幂公式进行降次、整理为再利用辅助角公式求出最值。例1：求函数的最值，并求取得最值时x的值。解：由降幂公式和倍角公式，得∵，∴，∴∴的最小值为，此时，无最大值。例2.已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．（5）典型应用题ABORSPQ扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．解：连接，设，则，，．，，所以当时，在圆弧中心位置，．类型6：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）。例1.已知

5、，求的最大值与最小值．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．例2：已知，求的取值范围。解：∵，∴∵∴∵∵。∴sinα=0时，；时，∴。例3：求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：∵定义域为0≤x≤1，可设且，∴∵，∴，∴即∴当或，即θ=0或（此时x=1或x=0），y=1；当，即时，（此时），，当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。【反馈演练】1．函数的最小值等于____－1_______．2．已知函数，，直线和它们分别交于M，N，则_________．3．当时，函数

6、的最小值是______4_______．4．函数的最大值为_______，最小值为________.5．函数的值域为.6．已知函数，则的值域是.7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．8．（1）已知，函数的最大值是_______.（2）已知，函数的最小值是____3___.9．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，_____________．10．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在

7、区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．yxO解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．11．若函数的最大值为，试确定常数a的值.解：因为的最大值为的最大值为1，则所以12．已知函数．（1）若．求使为正值的的集合；（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围.解：（1）∵又∴（2）当时，∴则，∴∵方程有实根，得∴【高考赏析】（1）设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。（I）求的值。（II）如果在区间上的最小值为，求的值。2.已知函数f(x)=s

8、in(2x－)+2sin2(x－)(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(Ⅰ)f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)=2[sin2(x－)－cos2(x－)