三角函数求值域专题

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1、求三角函数值域及最值的常用方法：对三角函数的考查，历来都是高考的重点，也是基础。考试大纲中对三角函数的要求是重基础，从近几年的高考试卷来看，三角函数的最值问题在高考中经常出现，本文总结归纳了三角函数求最值的几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有三角函数的最值问题都可迎刃而解。类型1、利用辅助角公式：，化为一个角的三角函数形式。例1：求函数的最值，并求取得最值时x的值。解：由降幂公式和倍角公式，得∵，∴，∴∴的最小值为，此时，无最大值。例2：已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）．又，，即，．（

2、Ⅱ），，5且，，即的取值范围是．练习：函数在区间上的最小值为．类型2、化为二次函数类型例3：求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．　解:原函数可化为　　　　当sinx＝1时，ymax＝1；　　当sinx＝－1时，ymin＝－9，∴原函数的值域是[－9，1]．练习：函数的最大值等于．3、型：反解，利用正弦的有界性（或分离常数法）例4:求函数的值域。解：由变形为，则有，由，则此函数的值域是例5:求函数的值域.法一：原函数变形为，可直接得到：或5此函数的值域是法二：原函数变形为或此函数的值域是练习：求函数的值域。4、型如型此类型最值问题可考虑如

3、下几种解法：①转化为再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例6：求函数的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。解法2：将函数变形为，∴由，解得：，故值域是例7：求函数的最小值．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，

4、由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时5，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．练习：求函数的值域。5、型：换元法．含有的最值问题。解此类型最值问题通常令，，，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。注意的范围。例8：求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．解：原函数即为　　y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，　　　　∴原函数即为　　　　【反馈演练】1．当时，函数的最小值是____________．2．函数的最大值为_______，最小值为________.3．若

5、函数的最大值为，求a的值.4．已知函数．5（1）若．求使为正值的的集合；（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围.5