2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案新人教B版

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1、2.3.2　双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1.通过对双曲线几何性质的学习，培养学生直观想象素养.2.借助于几何性的应用，提升学生的逻辑推理，数学运算素养.1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R性质对称性对称

2、轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0,－a)，A2(0,a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？[提示]　e＝＝＝.思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？[提示]　有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴和虚轴相等的

3、双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝.1．若0

4、　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1C　[∵e＝＝，F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为－＝1.]4．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________．或　[若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4，∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝.若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4.∴＝，＝，即＝.∴e2＝，故e＝，即双曲线的离心率是或.]已知双曲线的标准方程求其简单几何性质【例1】　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和

5、渐近线方程．[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n>0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近

6、线方程．[解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】　求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．[解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，

7、b＞0)．由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴标准方程为－＝1或－＝1.(2)法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝.∴所求双曲线方程为－＝1.当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2.∴所求双曲线方程为－＝1.法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝，当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2

8、＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x