2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质（一）学案新人教B版

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1、2.3.2　抛物线的几何性质(一)学习目标核心素养1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)1.通过学习抛物线的几何性质，培养学生的直观想象素养.2.以抛物线性质的简单应用为载体，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶

2、点(0,0)离心率e＝1思考：参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]　参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p＞0)

3、AB

4、＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)

5、AB

6、＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)

7、AB

8、＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)

9、AB

10、＝p－(y1＋y2)1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6

11、，则点P到该抛物线焦点F的距离是(　　)A．8　　　B．6　　　　C．4　　D．2A　[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝

12、PF

13、，即

14、PF

15、＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴

16、PF

17、＝6＋2＝8.]2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)A．x2＝16y　　　　B．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16yD　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝

18、－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)A．

19、FP1

20、＋

21、FP2

22、＝

23、FP3

24、B．

25、FP1

26、2＋

27、FP2

28、2＝

29、FP3

30、2C．

31、FP1

32、＋

33、FP3

34、＝2

35、FP2

36、D．

37、FP1

38、·

39、FP3

40、＝

41、FP2

42、2C　[由抛物线定义知

43、FP1

44、＝x1＋，

45、FP2

46、＝x2＋，

47、FP3

48、＝x

49、3＋，∴

50、FP1

51、＋

52、FP3

53、＝2

54、FP2

55、，故选C.]由抛物线的几何性质求标准方程【例1】　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路探究]　解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[解]　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线

56、的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.用待定系数法求抛物线方程的步骤1．已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．[解]　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.抛物线几何性质的应用【例2】　已知抛物线y2＝8x，(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形

57、OAB，

58、OA

59、＝

60、OB

61、，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．[思路探究]　(1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．[解]　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示，由

62、OA

63、＝

64、OB

65、可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则

66、OF

67、＝

68、OM

69、.因为F(2,0)，所以

70、OM

71、＝

72、OF

73、＝3，所以M(3,0)，故设A(3，m)．代入y2＝8x得m2＝

74、24，所以m＝2或m＝－2，所以A(3,2)，B(3，－2)，所以

75、OA

76、＝

77、OB

78、＝，所以△OAB的周长为2＋4.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和等腰三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称.另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质.2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.[解]　如图所示，设正