2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质（二）学案新人教B版

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1、2.3.2　抛物线的几何性质(二)学习目标核心素养1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题.1.由直线与抛物线的位置关系及弦，培养学生的数学运算素养.2.以直线与抛物线相关的求值、证明为载体，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交有两个或一个公共点k＝0或联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ相切有且只有一个公共点Δ＝0相离无公共点Δ＜01．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2

2、＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－　　B．－1　　　C．－　D．－C　[由点A(－2,3)在y2＝2px的准线x＝－上得p＝4，∴F(2,0)，∴kAF＝－，故选C.]2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)A．　　B．2C．D．15A　[令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴

3、AB

4、＝＝＝.]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则

5、AB

6、＝__

7、______.8　[

8、AB

9、＝2＝2(3＋1)＝8.]直线与抛物线的位置关系【例1】　已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[解]　由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.把y＝1代入y2＝4x，得x＝.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．①由Δ＝0，即2k

10、2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝.于是，当k＝－1，或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．②由Δ>0，得2k2＋k－1<0，解得－10，解得k<－1，或k>.于是，当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有

11、一个公共点；当－1时，直线l与抛物线没有公共点．直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.1．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．[证明]　设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组消去y后，整理得k2x2＋

12、(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．∴4·xB＝，即xB＝.以－k代换xB中的k，得xC＝，∴kBC＝＝＝＝＝－.∴直线BC的斜率为定值.与抛物线有关的中点弦问题[探究问题]对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？[提示]　(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之

13、和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．【例2】　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E的标准方程；(2)求直线AB的方程．[思路探究]　用“点差法”．[解]　(1)由E的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为y2＝2px，且＝1，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2,1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k.由A，B为抛物线上不同两点得①－②得k＝＝2，∴直线AB方程为

14、y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.1．(变换条件)若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由．[解]　由抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.假设A