2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版

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1、2.4.2　抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈

2、Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，

3、AF

4、＝x1＋，

5、BF

6、＝x2＋，故

7、AB

8、＝x1＋x2＋p．3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0

9、时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是(　　)A.　　　　　B.C．1D.D　[抛物线方程可化为x2＝y，其准线方程为y＝－，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是.]2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8

10、yD．x2＝±16yD　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则

11、AB

12、＝(　　)A．10B．8C．6D．4B　[

13、AB

14、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，

15、AF

16、＝2，则

17、BF

18、＝________．2　[F(1，0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴

19、B

20、F

21、＝

22、AF

23、＝2.]　抛物线几何性质的应用【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．(1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线

24、方程为y2＝3x或y2＝－3x.](2)解：由已知得＝2，所以＝4，解得＝，即渐近线方程为y＝±x.而抛物线准线方程为x＝－，于是A，B，从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为.1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)A．y2＝x　B．y2＝－xC．y2＝±xD．y2＝±xC

25、　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.]　与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】　(1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

26、AB

27、＝9.①求该抛物线的方程；②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．思路探究：(1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB

28、；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．(2)①设出