2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版

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1、2.3.2　双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养.2.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离

2、心率e＝>1渐近线y＝±xy＝±x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示]　(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝．1．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)A．(4，0)，(0，1)　　B．(－4，0)，(4，0)C．(0，1)，(0，－1)D．(－4，0)，(0

3、，－1)B　[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4，0)，(4，0)．]2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　)A．1B．2C．3D．4D　[方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为－＝1(m＞0)，则a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，所以＝，则m2＋9＝25.∵m＞0，∴m＝4.]3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．(－，0)，(，0)　[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝

4、3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．]4．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．2　[由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2.]　根据双曲线方程研究几何性质【例1】　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，2)，过点(0，－2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为(　　)A．2　　　　　B．2C．4D．4(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长

5、、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．(1)A　[双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则点(0，－2)到渐近线bx－ay＝0(或bx＋ay＝0)的距离d＝＝＝，得c＝3a，即b＝2a.由双曲线C过点(，2)，可得－＝1，解得a＝1，故双曲线C的实轴长为2a＝2.](2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝.顶点坐标为(－，0)，(，0)．所以渐近线的方程为y＝±x＝±x.由双曲线的方程研究几何性

6、质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝1C　[A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令－x2＝0，得y＝±2x；令y2－＝0，得y＝±x.故选C.](2)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±2x

7、B．y＝±xC．y＝±xD．y＝±xB　[在双曲线中，离心率e＝＝＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.]　利用几何性质求双曲线方程【例2】　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为_________．思路探究：(1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b.(2)法一：分焦点在x轴

8、和y轴上两种情况求解．法二：待定系数法求解．(1)D　(2)－＝1　[(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1