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时间:2020-02-28
《2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质讲义新人教A版.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2 双曲线的简单几何性质1.双曲线的简单几何性质2.等轴双曲线(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线具有以下性质:①方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);②渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;③实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e=.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为.( )(2)方程-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.( )(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.做一做(1)(教材改
2、编P61练习T1)双曲线-y2=1的实轴长为( )A.4B.2C.D.1(2)双曲线x2-=1的渐近线方程为________,离心率e=________.(3)双曲线x2-16y2=1的实半轴长为________,虚半轴长为________.(4)焦点在x轴上,且焦距为4的等轴双曲线方程为________.答案 (1)A (2)y=±x 2 (3)1 (4)-=1探究1 双曲线的简单几何性质例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.[解] 将9y2-4x2=-36变形为-=1,即-=1,得a=3,b=2,c=,因此顶点为A
3、1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标F1(-,0),F2(,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e==,渐近线方程y=±x=±x.作草图:拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点,注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上.(3)直线x=±a,y=±b或x=±b,y=±a围成的矩形中,双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线.依据(2),(3),可画出双曲线的大致图形.【跟踪训练1】 (1)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案
4、C解析 因为0<θ<,所以sinθ>0,cosθ>0,所以双曲线C1的实轴长为2cosθ,虚轴长为2sinθ,焦距为2,离心率e1=,双曲线C2的实轴长为2sinθ,虚轴长为2sinθtanθ=,焦距2=,离心率e2=,所以两个双曲线的离心率相等.(2)已知双曲线my2-x2=1(m∈R)与椭圆+x2=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x答案 A解析 椭圆+x2=1的焦点坐标为(0,±2),双曲线my2-x2=1(x∈R)的焦点坐标为,由题意得=2,所以m=,所以双曲线my2-x2=1即-x2=1的渐近线方程为±x=0即y=±x.
5、探究2 双曲线的离心率问题例2 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0),若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.C.[2,+∞)D.(2)我们把离心率e=的双曲线-=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图是双曲线-=1(a>0,b>0,c=)的图象,给出以下几个说法:①若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;②若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;③若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线
6、.其中正确命题的序号为________.[解析] (1)由题意知,过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点,需满足1,∴17、2=ac,由①知该双曲线是黄金双曲线.[答案] (1)B (2)①②③[条件探究] 若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”,“有两个”改为“有且只有一个”,其他条件不变,应如何解答?解 由题可得直线的斜率为,要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,只要=,得e2=1+2=4,则e=2.拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解,若已知a,b,可利用e=求解.(2)
7、2=ac,由①知该双曲线是黄金双曲线.[答案] (1)B (2)①②③[条件探究] 若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”,“有两个”改为“有且只有一个”,其他条件不变,应如何解答?解 由题可得直线的斜率为,要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,只要=,得e2=1+2=4,则e=2.拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解,若已知a,b,可利用e=求解.(2)
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