2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修2_1.doc

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1、2．3.2　双曲线的几何性质　1.了解双曲线的渐近线．　2.理解研究双曲线几何性质的思想方法．　3.掌握双曲线的简单几何性质．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形几何性质范围

2、x

3、≥a

4、y

5、≥a焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)顶点A1(－a，0)、A2(a，0)A1(0，－a)、A2(0，a)对称性关于x、y轴对称，关于原点对称实、虚轴长实轴长为2a，虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比，即e＝渐近线方程y＝±xy＝±x1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的离心率与双曲线的离

6、心率取值范围相同．(　　)(2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　)(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.　(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．3x±4y＝0　　　　　　B．4x±3y＝0C．9x±16y＝0D．16x±9y＝013答案：A3．双曲线－＝1的焦点坐标为________，离心率为________．答案：(±7，0)　4．双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，且a2＝b2，则其标准方程为________．解析：因为等轴双曲线的焦点为(－6，0)，所以c＝6，所以2a2＝3

7、6，a2＝18.所以双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝1　双曲线的简单几何性质　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【解】　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.　把本例中的双曲线方程改为9y2－4x2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把方程9y2－4x2＝36化为标准形式为－＝1，所以a＝2，b＝3，c＝，所以顶点坐标为

8、(0，－2)，(0，2)，焦点坐标为(0，－)，(0，)，离心率e＝＝.渐近线方程为y＝±x.13由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤　　1.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A．　　　　　　　　　　B．C．1D．解析：选B．双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y＝±x，所以x±y＝0，所以顶点到渐近线的距离为d＝＝.2．已知F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)A．＋1B．＋1C．2D．2解析：选B．不妨设点P在双曲线的右支上，则

9、PF1

10、－

11、PF2

12、＝

13、2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以

14、PF2

15、＝

16、F1F2

17、＝2c，所以

18、PF1

19、＝2a＋

20、PF2

21、＝2a＋2c，所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.因为e>1，所以e＝＋1.　由双曲线的几何性质求标准方程　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【解】　(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，13将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1.(2)法一

22、：设双曲线方程为－＝1，由题意易求得c＝2，又双曲线过点(3，2)，所以－＝1，又因为a2＋b2＝(2)2，所以a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.法二：设所求双曲线方程为－＝1(－16<λ<4)，因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，所以λ＝－4或λ＝14(舍去)，所以所求双曲线方程为－＝1.(1)求双曲线的标准方程的方法①解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．②如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝

23、1(m，n同号)，然后由条件求m，n.　(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为－＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．　　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是；(2)焦距为20，渐近线方程为y＝±x.13解：(1)由已知设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．则2a＝8，所以a＝4.由e＝＝得c＝5.所以b2＝c2－a2＝52－42＝9.所以所求双曲线方程为－＝1.(2)当焦点在x轴上时，设所求双