高考数学二轮复习专题二第1讲的图象与性质案文

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1、第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin的最小正周期为(  )A.4πB.2πC.πD.解析 由题意T==π.答案 C2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(  )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈

2、Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+(k∈Z)得函数的对称轴为x=+(k∈Z).答案 B3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是(  )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减解析 函数f(x)=cos的图象可由y=cosx的图象向左平移个单位得到,如图可知,f(x)在上先递减后递增,D选项错误.答案 D4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2

3、x+cosx-的最大值是________.解析 f(x)=sin2x+cosx-,f(x)=1-cos2x+cosx-,令cosx=t且t∈[0,1],y=-t2+t+=-+1,则当t=时,f(x)取最大值1.答案 1考点整合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象递增区间[2kπ-π,2kπ]递减区间[2kπ,2kπ+π]奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ,0)对称轴x=kπ+x=kπ周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对

4、称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.(2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.(3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的图象命题角度1 三角函数的图象变换【例1-1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将

5、y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:ωx+φ0π2πxπAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin,根据图象平移变换,得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时

6、,θ取得最小值.探究提高 1.“五点法”作图设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.命题角度2 由函数的图象特征求解析式【例1-2】(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(  )A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin(2)(2017·济南调研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的

7、部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(  )A.1B.C.D.解析 (1)由题意知A=2,T=4=π,ω=2,因为当x=时取得最大值2,所以2=2sin,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z,因为

8、φ

9、<,得φ=-.因此函数f(x)=2sin.(2)观察图象可知,A=1,T=π,则ω=2.又点是“五点法”中的始点,∴2×+φ=0,φ=.则f(x)=sin.函数图象的对称轴为x==.又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),所以=,则x1+x2=,因此f

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