高中数学第三讲3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式达标训练新人教选修

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1、3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式更上一层楼基础·巩固1.已知a,b是给定的正数，则的最小值为（）A.a2+b2B.2abC.(a+b)2D.4ab思路分析：我们可利用平均不等式处理本题，利用三角函数sinα,cosα分别与cscα,secα的倒数关系去掉分母，再利用平方关系1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α变形，最后利用平均不等式.如果利用柯西不等式处理起来更方便,我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造.=(sin2α+cos2α)()≥(sinα·+cosα·

2、)2=(a+b)2.答案：C2.设x,y,m,n∈(0,+∞)，且=1，则x+y的最小值是（）A.m+nB.4mnC.()2D.思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从x+y入手有点困难，所以把x+y看成(x+y)·1=(x+y)·()，进而可使条件、结论、选择支有机结合起来.答案：C3.设a>b>0，则的最小值为_______________.思路分析：=(a-b)++b≥,当且仅当a-b=b=即a=2,b=1时等号成立.关键在把a+拆分成(a

3、-b)++b.答案：34.若0＜a,b,c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则的最小值是_________.思路分析：设S=，则S≥.由a2+b2+c2≥ab+bc+ca，在这不等式两边同时加上2(ab+bc+ca)，可得(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)，所以a+b+c≥.于是S≥.这里，当且仅当a=b=c=时，S取得最小值.答案：5.已知a,b∈R，求证：a2+b2≥2ab.证明：∵(a2+b2)2=(a2+b2)(b2+a2)≥(ab+ba)2=4(ab)2，∴a2+b2≥2

4、ab

5、≥2ab

6、.6.已知a,b,c,x,y,z∈R，求证：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2.思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变量c、z,如果我们把,看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明.证明：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥［a2+()2］［x2+(］≥(

7、a

8、

9、x

10、+·)2=［(

11、ax

12、+］≥［

13、ax

14、+］2=

15、ax

16、+

17、by

18、+

19、cz

20、)2≥(ax+by+cz)2.综合·应用7.设x1,x2,…,xn∈R+，定义Sn=2,在x1+x2+…+xn=1条件

21、下，则Sn的最小值为______________.思路分析：因为［］2≤()·2,所以Sn=2≥［］2≥［1+·n2］2=n.当x1=x2=…=xn=时，取到最小值n.答案：n8.求证：.思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的.证明：∵()2=(x12+x22)+(y12+y22)+,由柯西不等式得(x12+x22)·(y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2.其中等号当且仅当x1=ky1，x2=

22、ky2时成立.∴≥x1y1+x2y2,∴()2≥(x12+x22)+(y21+y22)+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2,∴≥.其中等号当且仅当x1=ky1，x2=ky2时成立.9.已知=1,求证：a2+b2=1.思路分析：利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证.证明：由柯西不等式，得≤［a2+(1-a2)］［b2+(1-b2)］=1,当且仅当时，上式取等号，∴ab=,a2b2=(1-a2)(1-b2),

23、于是a2+b2=1.回顾·展望10.函数f(x)=在x∈(0,)时的最小值为（）A.2B.4C.6D.8思路分析：f(x)=(sinx+cosx)()+(tanx+cotx)()≥(sinx+cosx)()+(tanx+cotx)()=4.要使上式等号成立，当且仅当①-②得到sinx-cosx=cosx-sinx，即得sinx=cosx.因为x∈(0,)，所以当x=时，f(x)=f()=4.所以f(x)min=4.答案：B