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《2017-2018学年4-5二维形式的柯西不等式.一般形式的柯西不等式达标训练.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品资源3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式更上一层楼欢迎下载精品资源基础•巩固a2b21.已知a,b是给定的正数，则—a^十一的最小值为()sin一:：cos:A.a2+b2B.2abC.(a+b)2D.4ab思路分析：我们可利用平均不等式处理本题，利用三角函数sina,cosa分别与CSCa,seca的倒数关系去掉分母，再利用平方关系1+tan2a=sec2a,1+cot2a=csc2a变形，最后利用平均不等式.如果利用柯西不等式处理起来更方便，我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造.2a~~2~sinb2222=
2、(sina+COsa)(cos二2a・2.sin-->(sina=(a+b)2.答案：Ca+cosasin--bcos■■mn.一一，一2.设x,y,m,n£(0,+川，且一十一二1，则x+y的最小值是()xyA.m+nB.4mn222mnC.(m.n)d..思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从x+y入手有点困难，所以把x+y看成(x+y)T=(x+y)•(m+—),进xy而可使条件、结论、选择支有机结合起来答案：C1，一，一，3.设a>b>0,则一1一的最小值为(a-b)b
3、思路分析11C1.=(a-b)++b>33.(a-b)xMb，当且仅当(a-b)b(a-b)b(a-b)b1a-b=b=即a=2,b=1时等3成立.关键在把(a-b)b1a+拆分成(a-b)+(a-b)b1(a-b)b+b.欢迎下载精品资源答案：3欢迎下载精品资源1114.右0Va,b,c<1满足条件ab+bc+ca=1,则++的取小值是1-a1-b1-c29一一.一111—329思路分析：设S=^—+'，则S>3=9^1-a1-b1-c1-a1-b1-c3-(abc)由a2+b2+c2>ab+bc+ca,在这不等式两边同时加上2(ab
4、+bc+ca),可得(a+b+c)2>3(ab+bc+ca),所以a+b+c>^3.不早993(3,3)丁S/=.3-(abc)3-.32、3这里，当且仅当a=b=c=X3时，S取得最小值.3答案：3(3'3)25.已知a,bCR,求证：a2+b2>2ab.证明：「(a2+b2)2=(a2+b2)(b2+a2)>(ab+ba)2=4(ab)2,.•.a2+b2>2
5、ab
6、>2ab.6.已知a,b,c,x,y,z6R,求证：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax+by+cz)2.思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变
7、量c、z,如果我们把Jb2+c2,Vy2+z2看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明^证明：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)>[a2+(Vb2+c2)2][x2+(Jy2+z2]>(
8、a
9、
10、x
11、+Jb2+c2•yy2+z2)2=[(
12、ax]+>[
13、ax
14、+%；(
15、by
16、+
17、cz
18、)2]2=
19、ax
20、+
21、by
22、+
23、cz
24、)综合•应用…….一nn-17.设x1,x2,…,xnCR,7E义Sn=£(xi+2yn值为.思路分析：因为[11*(xi+nJ• )]2ynxi2W+c2)(y2+z2)]2>(ax+by+cz)2.12•),在
25、x1+x2+…+xn=1条件下，则Sn的最小xi/J.2，n-11、(£1)•乙(X+——•一)idynxi欢迎下载精品资源欢迎下载精品资源2=n.n-11x21「」/,n-1121所以$=乙(xi+—2-•一)》一[乙(xi+—2-*—)])—i1nxinidnxn当x1=x2=…=xn=1时，取到最小值n.n答案：n欢迎下载精品资源2222.：2'128.求证：yxi+X2+yyi+y2之q(xi+y[)+(X2+y2).思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就
26、可以达到利用柯西不等式解题的目的^证明：'•■(.Xi2X22y：y22)2=(xi2+x22)+(yi2+y22)+2(Xi2yi2)*(yi2y22),由柯西不等式得(x12+X22)•(yi2+y22)>(xiyi+x2y2)2.其中等号当且仅当xi=kyi,X2=ky2时成立.22.,22、•1•2V(Xi+X2),(yi+y2)>Xiyi+x2y2,・•(.X；X22.y12y22)2>(xi2+X22)+(y2i+y22)+2(xiyi+x2y2)=(xi+yi)2+(x2+y2)2,Vxi2+X22y：+y22>2V(Xi
27、2+y：)“x22+.其中等号当且仅当xi=kyi,X2=ky2时成立.9.已知aJi-b2+b
