二维形式柯西不等式

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1、光明中学2010届高三理科集体备课教案不等式选讲第11课时二维形式的柯西不等式学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。证明：略。推论：1．

2、(当且仅当ad=bc时，等号成立.)2．(当且仅当ad=bc时，等号成立.)3．（当且仅当

3、ad

4、=

5、bc

6、时，等号成立）例1：已知a,b为实数，求证说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题2：求函数的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函数的定义域为【1，5】，且y>0光明中学2010届高三理科集体备课教案当且仅当时，等号成立

7、，即时，函数取最大值课堂练习：1.证明:(x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)22.求函数的最大值.例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。课堂练习：已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量

8、共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：分析：（课件）思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。作业：P37页，4，5，7，8，9光明中学2010届高三理科集体备课教案不等式选讲第12课时一般形式的柯西不等式学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学过程：一．复习：定理1：（柯西不等式的代数形

9、式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：二．新课类似的，从空间向量的几何背景业能得到

10、α.β

11、≤

12、α

13、

14、β

15、.将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。证明：构造

16、二次函数：即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，光明中学2010届高三理科集体备课教案即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。如果（）全为0，结论显然成立。二、典型例题：例1、已知a1,a2,…,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例2、已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。分析：由形式，联

17、系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求的最小值。2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。（08东莞二模）6．已知x+y+z=，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)三、小结：重点掌握三维柯西不等式

18、的运用。五、作业：P41习题3.22，3，4，5