高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版

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1、第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用学习目标核心素养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养.2.通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1．2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>

2、b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？[提示]　(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)A．相离　　　　B．相切C．相交D．无法确定C　[联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与

3、椭圆相交．]2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)A．2B．±C．±2D．±2C　[由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2.]3．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．(－，)　[∵点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.]4．如果椭圆＋＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．－　[设此弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，又x1

4、＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，即此弦所在直线斜率为－.]　直线与椭圆的位置关系【例1】　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．思路探究：―→―→―→[解]　联立方程组将①代入②得：＋(x＋m)2＝1，整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③

5、无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)A.　　B．－　　C．±　　D．±C　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.](2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x

6、轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0

7、(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1

8、－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x＋2y