高考数学必考题型数列 (1)

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1、第26练　数列求和问题大全题型一　分组转化法求和例1　等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点　(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项,进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和、解　(1)当a1＝3时,不合题意

2、；当a1＝2时,当且仅当a2＝6,a3＝18时,符合题意；当a1＝10时,不合题意、因此a1＝2,a2＝6,a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)、(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3,所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时,Sn＝2×＋ln3＝3n＋

3、ln3－1；当n为奇数时,Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述,Sn＝题型二　错位相减法求和例2　已知：数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn＝2an－n(n∈N*)、(1)求a1,a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn＝nan(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点　(1)代入求解即可、(2)由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－(n－1),n≥2,两式相减构造数列求通项公式、(3)错位相减求和、解　(1)Sn＝2an－n.令n＝1,解得

4、a1＝1；令n＝2,解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n,所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2,n∈N*),两式相减得an＝2an－1＋1,所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2,n∈N*),又因为a1＋1＝2,所以数列{an＋1}是首项为2,公比为2的等比数列、所以an＋1＝2n,即通项公式an＝2n－1(n∈N*)、(3)bn＝nan,所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n,所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n),Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)

5、、令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n,①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1,②①－②,得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1,－Sn＝－n·2n＋1,Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1,所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(n∈N*)、题型三　倒序相加法求和例3　已知函数f(x)＝(x∈R)、(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N*,n＝1,2,…,m),求数列{an}的前m项和Sm；(3)设数列{bn}满足b1＝,bn＋1

6、＝b＋bn,Tn＝＋＋…＋,若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m,Sm

7、a2＋…＋am－1＋am,①Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am,②由①＋②,得2Sm＝(m－1)×＋2am＝－,即Sm＝－(m∈N*)、(3)解　由b1＝,bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1),显然对任意n∈N*,bn>0,则＝＝－,即＝－,所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝3－.因为bn＋1－bn＝b>0,所以bn＋1>bn,即数列{bn}是单调递增数列、所以Tn关于n递增,所以当n∈N*时,Tn≥T1.因为b1＝,b2＝()2＋＝,所以Tn≥T1＝3－＝.由题意,知Sm<,即－<,解得m<,所以正整数m的最大值为3.题型四　裂项相

8、消法求和例4　在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列、(1)已知数列{an}的前10项和为45,求数