2019_2020学年高中数学课时分层作业16空间向量的正交分解及其坐标表示（含解析）新人教A版

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1、课时分层作业(十六)　空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)A．1B．2　　　　C．3　　D．4D　[根据基底的

2、概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.]2．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b

3、，＝c，则可表示为(　　)A.a＋b＋c　B.a－b＋cC．－a－b＋cD．－a＋b＋cD　[由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c，故选D.]3．正方体ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是(　　)A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2A　[＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.]4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a

4、，b不能构成空间基底的向量是(　　)A.B.C.D.或C　[因为a－b＝2，所以a，b与共面，不能构成空间的一个基底．]5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　)A.B.C.D.C　[由题图知B(1，1，0)，E，所以＝.]二、填空题6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得]

5、7．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．－a＋b－c　[＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.]8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则的坐标为________．　[∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴M，P(0，0，1)，C(－1，1，0)，则N.∴＝.]三、解答题9．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝

6、c，试用a，b，c表示.[解]　连接AN，则＝＋.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得＝＋＝a＋b，＝－＝－(a＋b)，又＝－＝b－c，故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)，所以＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．10．如图，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.(1)用向量a，b，c表示.(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标．[解]　(1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.(

7、2)a＝＝(1，0，0)，b＝＝(0，1，0)．∵A(0，0，0)，O，P，∴c＝＝－＝，∴＝－a＋b＋c＝－(1，0，0)＋(0，1，0)＋＝.[能力提升练]1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是(　　)A.＝OA＋OB＋OCB.＝＋C.＝＋＋D.＝2－C　[对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.]2．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2，1，－3)

8、，则向量a在基底{，，}下的坐标为(　　)A．(2，1，－3)　　　B．(－1，2，－3)C．(1，－8，9)D．(－1，8，－9)B　[∵a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3DD1，∴向量a在基底{，，}下的坐标为(－1，2，－3)，故选B.]3．在空间四边形A