空间向量的正交分解及其坐标表示-课时作业21(解析版)

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1、课时作业21　空间向量的正交分解及其坐标表示时间：45分钟　　分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．在以下三个命题中，真命题的个数是(　　)①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．A．0　B．1C．2D．3解析：①正确．基底的量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确．答案：C2．正方体ABCD—A′B′C

2、′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　)A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2解析：＝＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋，对比＝x＋y＋z得x＝y＝z＝1.答案：A3．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)A.，－1，－B.，1，C．－，1，－D.，1，－解析：xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2

3、－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得∴x＝，y＝－1，z＝－.答案：A4．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是(　　)A．(－1,3,0)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)B．(0,3，－4)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)C．(－1,3,0)、(－1,3，－4)、(0,3，－4)D．(0,0,0)、(－1,0,0)、(0,3,0)答案：A5．若向量、、的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点

4、)，则能使向量、、成为空间一组基底的关系是(　　)A.＝＋＋B.≠＋C.＝＋＋D.＝2－解析：A中M、A、B、C共面，因＋＋＝1；B中可能共面，≠＋，但可能＝λ＋μ；D不对，∵＝2－，∴四点共面，故选C.答案：C6．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．设

5、a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．解析：①∵a－b与a，b共面∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底②∵a＋b－c与a，b不共面∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．答案：②8．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________.解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.答案：0　0

6、　09．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.图1解析：如图1所示，取BC的中点G，连结EG，FG，则＝－＝－＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c三、解答题(共40分)图210．(10分)如图2所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.解：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋×(＋)＝＋＋；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋×(＋)＝＋＋.11．(15分)如图3所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，O，O

7、1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC＝13.图3(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标．(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标．解：(1)正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3，∴各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(