高考数学第二篇导数在研究函数中的应用（第二课时）利用导数研究函数的极值与最值应用能力提升

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1、第二课时　利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的极值2,3,4,5,7,11导数研究函数的最值4,6导数研究函数的极值与最值综合问题9综合问题1,8,10基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018·四川遂宁一诊)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=2处有极值,则ab的最大值等于(　C　)(A)121(B)144(C)72(D)80解析:由题意,f'(x)=12x2-2ax-2b,因为在x=2处有极值,所以f'(2)=0,即2a+b=24,因为a>0,b>0,所以2ab≤()2=144,当且仅当2a=b时取等号,所以ab的最

2、大值等于72.故选C.2.(2018·河南豫南九校高三联考)已知函数f(x)=2f'(1)lnx-x,则f(x)的极大值为(　B　)(A)2(B)2ln2-2(C)e(D)2-e解析:f(x)=2f'(1)lnx-x,则f'(x)=-1,令x=1得f'(1)=2f'(1)-1,所以f'(1)=1,则f(x)=2lnx-x,f'(x)=-1=,所以函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f(x)的极大值为f(2)=2ln2-2,故选B.3.(2018·广东东莞市高考模拟)若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则(　A　)(A)f(x)有极大值-1(B)f(x

3、)有极小值-1(C)f(x)有极大值0(D)f(x)有极小值0解析:因为f(x)=ax+lnx,x>0,所以f'(x)=a+,因为x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,所以f'(1)=a+1=0,解得a=-1.所以f'(x)=-1+=,所以f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,所以f(x)极大值=f(1)=-1,无极小值.故选A.4.(2018·山东烟台市高考一模)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里,垂足为B,海岸线上距离B处100海里有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A

4、处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距离应为(　B　)(A)5海里(B)海里(C)5海里(D)10海里解析:设MB=x海里,在陆地上修建管道每海里费用为a元,则在海上修建管道每海里费用为3a元,修建总费用为y,则y=a(100-x)+3a=a(100-x+3),令f(x)=100-x+3(00,所以当x=时,f(x)取得最小值,故而y取得最小值.故选B.5.已知函数f(x)=xln

5、x

6、+1,则f(x)的极大值与极小值之和为(　D　)(A)0(B)1(C)2-(D)2解析:

7、当x>0时,函数f(x)=xlnx+1,则f'(x)=lnx+1,令lnx+1=0解得x=,0时,f'(x)>0,函数是增函数,x=时函数取得极小值1-;当x<0时,函数f(x)=xln(-x)+1,则f'(x)=ln(-x)+1,令ln(-x)+1=0,解得x=-,-0,函数是增函数,x=-时函数取得极大值1+;函数的极值的和为2.故选D.6.(2018·海南八校联考)已知函数f(x)=3lnx-x2+(a-)x在区间(1,3)上有最大值,则实数a的取值范围是(　B　)(A)(-

8、,5)(B)(-,)(C)(,)(D)(,5)解析:因为f'(x)=-2x+a-,所以由题设f'(x)=-2x+a-在(1,3)上单调递减且只有一个零点,则问题转化为即⇒-

9、拟)若函数f(x)=mx2+2cosx+m(m∈R)在x=0处取得极小值,则实数m的取值范围是　　　　. 解析:函数f(x)=mx2+2cosx+m的导数为f'(x)=2mx-2sinx,由于函数f(x)在x=0处取得极小值,则f'(0)=0显然成立,令g(x)=f'(x),由于x=0是函数f(x)的极小值点,则x=0左侧附近,f'(x)<0,即g(x)<0;在x=0右侧附近,f'(x)>0,即g(x)>0.则g'(x)=2m-2c