2020版高考数学一轮复习课后限时集训36直接证明与间接证明、数学归纳法理新人教版

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1、课后限时集训(三十六)　直接证明与间接证明、数学归纳法(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°B　[至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于60°，故选B.]2．(2019·西安模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)A．P＞Q　　B．P＝QC．P＜QD．由a的取值决定C　[假设P≥Q，则＋≥＋，即

2、2＋2a＋7≥2＋2a＋7，即≥，即a(a＋7)≥(a＋3)(a＋4)，即a2＋7a≥a2＋7a＋12，显然不成立，故P＜Q.故选C.]3．(2019·哈尔滨模拟)用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1C　[n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C.]4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1

3、＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负A　[由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.]5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4

4、成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立D　[由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f(1)≥1成立，则得到f(2)≥4，与f(2)<4矛盾，所以B错误；当f(3)≥9成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C错误；若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，所以D正确．]二、填空题6．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是______

5、__．①③④　[要使＋≥2，只需＞0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．]7．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.　[由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想Sn＝.]8．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________．a2>b2＋c2　[由余弦定理cosA＝<0，得b2＋

6、c2－a2<0，即a2>b2＋c2.]三、解答题9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.[证明]　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴··＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg＞lgabc，∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想{an}，{bn

7、}的通项公式，并证明你的结论．(2)证明：＋＋…＋＜.[解]　(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可

8、知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)＝＜.当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)·n.故＋＋…＋＜＋＝＋＝＋＜＋＝.B组　能力提升1．设x，y，