2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训73直接证明与间接证明数学归纳法理含解析新人教版.doc

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1、课后限时集训(七十三)　直接证明与间接证明、数学归纳法建议用时：40分钟一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°B　[至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于60°，故选B．]2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)A．x2>1　　　　　　B．x2>4C．x2>0D．x2>1C　[因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2

2、>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．]3．用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1C　[当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C．]4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负A　[由f(x)是定义在R

3、上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A．]5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立D

4、　[由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f(1)≥1成立，则得到f(2)≥4，与f(2)<4矛盾，所以B错误；当f(3)≥9成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C错误；若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，所以D正确．]二、填空题6.＋与2＋的大小关系为．＋>2＋　[要比较＋与2＋的大小，只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴＋>2＋.]7．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的

5、左边增加的式子是．　[不等式的左边增加的式子是＋－＝.]8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是．　[若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，则解得p≤－3或p≥，故满足题干要求的p的取值范围为.]三、解答题9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.[证明]　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝＞，①－1＝＝＞，②－1＝＝＞，③由①×②×③，得>8.10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n

6、项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[解]　(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2.得q＝0，这与公比q≠0

7、矛盾．综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．1．设x，y，z＞0，则三个数＋，＋，＋(　　)A．都大于2　　　　　　B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2C　[因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当x＝y＝z时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C．]2．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤AA　[∵≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，∴f≤f()≤f，即A≤B≤C．]3．设平面内

8、有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，