高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程（二）学案（含解析）新人教A版

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1、2.1.1　椭圆及其标准方程(二)学习目标　加深理解椭圆的定义及其标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点　椭圆方程的求法思考1　用待定系数法求椭圆的标准方程＋＝1，需要几个独立条件？答案　需要两个独立条件，因为方程中有两个独立参数a，b.思考2　椭圆方程的求法，除待定系数法外，还有哪些方法？答案　定义法、直接法等．梳理　方法名称适用条件待定系数法已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上的点等条件中的某些条件直接法等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法)定义法能得出动点到两定点的距离之和为定值相关点法所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系1．已知F1(

2、－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　×　)2．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　√　)3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　×　)类型一　定义法求轨迹方程例1　如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．考点　椭圆的定义题点　由椭圆定义确定轨迹解　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，∴

3、AQ

4、＝

5、PQ

6、，∴

7、AQ

8、＋

9、BQ

10、＝

11、P

12、Q

13、＋

14、BQ

15、＝6>

16、AB

17、＝4，∴点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，∴点Q的轨迹方程为＋＝1.反思与感悟　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.跟踪训练1　如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．考点　椭圆的定义题点　由椭圆定义确定轨迹解　设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0

18、)的距离之和恰好等于定圆半径，即

19、PA

20、＋

21、PB

22、＝

23、PM

24、＋

25、PB

26、＝

27、BM

28、＝8>

29、AB

30、，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.类型二　相关点法求轨迹方程例2　已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上的动点，求线段AQ中点M的轨迹方程．考点　椭圆标准方程的求法题点　相关点法求轨迹方程解　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．利用中点坐标公式，得∴∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.故所求AQ的中点M

31、的轨迹方程是2＋4y2＝1.反思与感悟　当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2　如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且

32、MD

33、＝

34、PD

35、.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型．考点　椭圆标准方程的求法题点　相关点法求轨迹方程解　

36、设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，由已知易得∵P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.该曲线表示焦点在x轴上的椭圆．类型三　直接法求轨迹方程例3　如图，设点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．考点　椭圆标准方程的求法题点　直接法求椭圆方程解　设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－2,0)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－2)；同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠2)．由已知得×＝－(x≠±2)，化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．引申探究若将本例中的－改为a(a<0)

37、，曲线形状如何？解　设点M(x，y)，则·＝a(x≠±2)．化简得＋＝1(x≠±2)．(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝4(x≠±2)，去掉两点(±2,0)．(2)当a≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±2,0)．当－1