三平面与圆锥面的截线

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1、《平面与圆锥面的截线》学案湖州市吴兴高级中学刘晓东一、学习目标1.通过观察平面截圆锥面的情境，感知截面的四种情形；2.了解利用Dandelin双球证明截线为椭圆的情形；3.能利用定理判断平面截圆锥面所得截线形状.二、学习重点难点重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.难点：1.椭圆截线的证明；2.三个结论的综合应用.三、学习过程【环节一】平面截圆锥面的各种情形1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况【环节2】平面截圆锥面定理两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面

2、定理.【实验1】如图3，AD是等腰三角形底边上的高，，直线与AD相交于点P，且与AD的夹角为.【探究1】当满足什么关系时有（1）与AB（或其延长线）、AC都相交；（2）与AB不相交；（3）与AB的延长线、AC都相交.【结论】如图4，可得如下结论：4【实验2】将图3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图2.【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如下结论：1.如果平面与一条母线平行（相当于图4中的），那么平面就只与圆锥的一半相交，这时交线是一条抛物线；2.如果平面与母线不平行

3、，则有两种情形：（1）当时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；（2）当时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.【定理】在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其夹角为，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴交角为（π与平行，记着β＝0），则：（1），平面π与圆锥的交线为椭圆；（2），平面π与圆锥的交线为抛物线；（3），平面π与圆锥的交线为双曲线.利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）下面只证明时，平面π与圆锥的交线为椭圆

4、.证明：如图5，设截面与两球的切点分别为E、F，A为截线上任一点，过点A的母线与两球的切点分别为B、C，则易得：，所以定值，由椭圆定义，则点A的轨迹为椭圆.4【环节3】定理应用例1：直接利用定理解决下列问题.（1）平面与圆锥的母线平行，则它们的交线为____________;离心率为____________;（2）一圆锥面的母线和轴线成角，当用一与轴线成的不过顶点的平面去截圆锥时，则所截得的截线是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线（3）已知圆锥面S，其母线与轴线所成角为，在轴线上取一点C，通过点C作一截面使它与轴线所成

5、的角为，则截出的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线例2：求解下列问题.（1）圆锥的顶角为，平面与母线所成的角为，则截面所截得的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选A.（2）（2015年浙江文7）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【变式】（2016金丽衢十二校理8）如图，AB是平面α外固定的斜线段，B为斜足．若点C在平面α内运动，且∠CAB等于直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为()A．圆B．椭

6、圆C．双曲线D．抛物线例3：活用定理解决下列问题.（1）（2008年浙江理10）如图8，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使三角形ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线（2）（2015湖州二中10月月考）二面角大小，垂直平面交于，动点满足与成角，则点在平面和平面上的轨迹分别是（）A．椭圆、圆B．双曲线、椭圆C．双曲线、圆D．抛物线、圆4【反馈练习】1.如图，直线平面M，垂足为O，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ，，则下列说法正确的

7、是＿（１）若，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；（２）若，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；（３）若，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；（４）若，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；2.如图，平面的斜线AB交于B点，且与所成的角为，平面内有一动点C满足，若动点C的轨迹为椭圆，则的取值范围为________.3.如图，直线AB是平面的斜线，A为斜足，若点P在平面内运动，使得点P到直线AB的距离为定值a(a>0),则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线4.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面垂直，P为AE的中点，N是平面ABCD内的动点

8、，且PN与平面PBC所成的角为，那么动点N在平面ABCD内的轨迹是（）A.线段B.一段圆弧C.一个椭圆D.一段抛物线5.如图，三角形PAB所在的平面和四边形ABCD所在平面互相垂直，且，，，若，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分B.椭圆