三平面与圆锥面的截线 (2)

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1、三　平面与圆锥面的截线[核心必知]1．平面与圆柱面的截线(1)椭圆组成元素：F1，F2叫椭圆的焦点；F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴；CD叫椭圆的短轴．如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝．(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.①G2F1＋G2F2＝AD；②G1G2＝AD；③＝cosφ＝sinθ.(3)如图(2)，

2、将两个圆拓广为球面，将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓广为两个平面α、β，EF拓广为平面γ，则平面γ与圆柱面的截线是椭圆．即得定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．平面与圆锥面的截线(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β，则：①β>α，l与AB(或AB的延长线)、AC相交；②β＝α，l与AB不相交；③β<α，l与BA的延长线、AC都相交．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到

3、以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．[问题思考]用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状？提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆．考点1圆的定义　1、已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平

4、面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．[精讲详析]　本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．过G1作G1H⊥BC于H.∵圆柱底面半径为，∴AB＝2.∵四边形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2.在Rt△G1G2H中，G1G2＝＝＝4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键．变式训练：1．平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程．

5、解：以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为＋＝1.∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4.则b2＝9.故所求椭圆的方程为＋＝1.考点2定理1和定理2的应用　2、证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．[精讲详析]　本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与

6、平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线是以

7、F1、F2为焦点的椭圆．由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决.变式训练2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛物

8、线．证明：如图，设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥的交线为圆S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m.在平面π与圆锥的截线上任取一点P，连接PF1.过点P作PA⊥m，交m于点A，过点P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB⊥m，∴∠PAB是π与π′所成二面角的平面角．连接点P与圆锥的顶点，与S相交于点Q1，连接BQ1，则∠BPQ1＝α，∠APB＝β.在Rt△APB中，PB＝PAcosβ.在Rt△PBQ1中，PB＝PQ1cos