《平面与圆锥面的截线》教学案2

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1、《三平面与圆锥面的截线》教案教学目标1.知识与内容：(1)通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2(2)利用Dandelin双球证明定理2中情况(1)(3)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2.情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题.教学重、难点重点：(1)定理2的证明(2)椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探允教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.生成椭圆的方法有许多，例如：(1)圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图；(2)椭圆的定义(3)平面内到

2、定点和定直线的距离之比等于常数(0AC都相交时，设/与AB^AB的延长线）交于

3、与交于F.因为"是护的外角，所以必然有反之，当/3>a时，/与M（或仙的延氏线）、/C都相交.（2）当/与M不相交时，贝\l//AB,这时有fi=a；反之，当P=a时，〃/AB,那么/与力B不相交.（3）当/与浙的延长线、/C都相交时，设/与M的延长线交于G,因为a是的外角，所以必然有/?<«；反之，当卩3时，/与M的延长线、M都相交.思考：将图3-9中的等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，则得到图3-10（课本第49页）.如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？（参考课本第48-49页老师引导学生探索三种情况的具体过程）归纳提升：定理2在空间屮，

4、取直线/为轴，直线与/相交于0点，英夹角为/-围绕/旋转得到以o为顶点，厂为母线的圆锥面，任取平面刀，若它与轴/交角为0（刀与/平行，记住0=0）,贝！J：（1）Q>a,平面〃与圆锥的交线为椭圆；（2）f^=a，平面兀与圆锥的交线为抛物线；（3）0a,平面兀与圆锥的交线为椭圆.讨论：点力到点F的距离与点/到直线加的距

5、离比小于1）.证明1：利用椭圆第一定义，证明E4+4E二B4+4C二定值，详见课本.证明2：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为”；②如果平面兀与平面兀的交线为加，在图中椭圆上任取一点该Dandelin球与平面兀的切点为F,贝9点/到点F的距离与点力到直线加的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线〃7为椭圆的准线，常数为离心率匕）点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.探究：如图3-12（课本第50页）找出椭圆的准线；（2）探讨P到焦点尺的距离与到两平面交线加的距离之比.如图3-12（课本第50

6、页），上面一个Dandelin球与圆锥的交线为圆S,记圆S,所在的平面为疗'•设乃与的交线为加.在椭圆上任取一点PFi，连接P.在兀中过P作加的垂线，垂足为4过P作兀的垂线，垂足为连接力乩贝MB是刃在平面上的投影•容易证明，加丄/故APAB是平面疗与平而丹交成的二而角的平面角.在R/44BP屮,ZAPB二卩，所以PB=PAcos（1）设过P的母线与圆S交于0,则在Rt/PQB中，ZQPB二a,所以PB=PQ、cosa=PF、cosa.（2）由⑴⑵得：PF、_cos0PAcosa・・・0vx"呼•••cos/i

7、,椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常cos/?cos/?数一^,因此椭圆的离心率e=-!-f即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余cosctcosa弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.最后，我们延用讨论椭圆结构特点的思路，讨论一下双曲线的结构特点.如图3-13（课本第50页），当/?<«时，平而兀与圆锥的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin^,与平面〃的两个切点分别是尺、%与圆锥两部分截得的圆分别为S