2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用讲义苏教版

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1、1.5.2　二项式系数的性质及应用学习目标核心素养1.掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)借助杨辉三角研究二项式系数的性质，提升数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.1．杨辉三角的特点(1)每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…….(2)图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．(3)图中每行的二项式系数从两端向中间

2、逐渐增大．(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，……，第7行的各数之和为26(如图)．2．二项式系数的性质(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：(1)C＝C；(2)C＋C＝C；(3)当r<时，C时，C

3、最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？[提示]　错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)A．11　　　　　　　　　　B．10C．9D．8D　[因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.]2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第______行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11

4、　11　2　11　3　3　11　4　6　4　1……34　[设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C＝2C，即＝，解得n＝34.]3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．5　[二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.]与“杨辉三角”有关的问题【例1】　如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．[思路探究]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C

5、，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.[解]　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：1．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第

6、10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．46　　[由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.]二项式系数和的问题【例2】　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和．(2)各项系数之和．(3)所有奇数项系数之和．[解]　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a

7、9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即所有奇数项系数之和为.1．(改变问法)典例中条件不变，问法改为求系数绝对值的和．[解]　法一：

8、a0

9、＋

10、a1

11、＋

12、a2

13、＋…＋

14、a9

15、＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则

16、a0

17、＋

18、a1

19、＋

20、a2

21、＋…＋

22、a9

23、＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.法二：

24、a0

25、＋

26、a

27、1

28、＋

29、a2

30、＋…＋

31、a9

32、，即为(2x＋3y)9展开式中各项系数之和，令x＝1，y＝1得，

33、a0

34、＋

35、a1

36、＋

37、a2

38、＋…＋

39、a9

40、＝59.2．(变换条件、改变问法)将本例二项式改为(2x＋3y)n，其展开式中各项的系数之和为515，试求展开式二项式系数的和．[解]　设(2x＋3y)n＝a0xn＋a1xn－1y＋a2xn－2y2＋…＋anyn.令x＝1，y