高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理教材梳理素材.

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1、内接四边形的性质与判定定理庖丁巧解牛知识•巧学一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包4S两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.知识拓展利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论：如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有

2、关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述：在四边形ABCD屮，如果ZB+ZD二180°,那么四边形ABCD内接于圆.疑点突破要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验,只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可•但是这个定点一时还找不出來•不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆，再证明第四个点D

3、也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们釆用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内，若作出对角线BD,设BD和圆交于D',连结AD'、CD',则ABCD'为圆内接四边形(如图2-2-2),则ZABC+ZAD'0180°.另一方面，因为ZADBxZBDC分别是D和ACD'D的外角，所以有ZAD'

4、B

5、角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点的距离相等).问题・探究问题圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明儿何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与止而证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？思路:反证法是-•种间接证法，它先是提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原假设，达到肯定原命题正确的一种方法.探究:反设是反证法的基础，为了正确地作出反

6、设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有（n-l）个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨•导出的矛盾有如下几种类型：与己知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一

7、种）与穷举反证法（结论的反面不止一种），如在上述定理证明中，假设点D不在圆上，贝I」有点D在圆外和点D在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.典题・热题例1如图2-2-3,已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证:C、D、E、F四点共圆.图2-2-3思路分析：连结EF.由ZB+ZAEF=180°,ZB+ZC二180

8、°,可得ZAEF=ZC.证明：连结EF.VABCD为平行四边形，AZB+ZC=180°.TA、B、F、E内接于圆,AZB+ZAEF=180°.・・・ZAEF二ZC・・・・C、D、E、F四点共圆.深化升华要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其対角互补或外角等于它的内对角.例2两圆相交于A、B,过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若ZEAB=ZDAB.求证：CD二EF.思路分析：