数值分析思考题

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1、数值分析重点考察内容第一章：基木概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题+证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等），简单欧拉法。第一章误差1.科学计算中的误差来源有4个，分别是,,,o2.用Taylor展开近似计算函数/(x)«/(x0)+/^0)(%-%0),这里产生是什

2、么误差？3.0.7499作？的近似值，是位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有—几4位有效数字，相对误茅限为・0.0032581是四舍五入得到的近似值，有位有效数字.4.改变下列表达式，使计算结果比较精确：(1)-~-—-—,兀訂1(2)—Ji—,Ixr11+2兀1+兀VxV(3)——,x0,xJ1.(4)sina-sin0,f3x5.采用下列各式计算(V2-1)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。(1)(V2+1)6(2)99-70^2(3)(3-2V2)6(4)6.已知近似数F有4位有效数字，求其相对误差限。上机实验题:1、利用Taylor展开公式计算夕-00X:工肓，编一

3、段小程序，上机用单精度计算"的函数值.分别取x=l,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分日：壬如“丄2,…,20,有如下的递推关系dx=n-6」心弋+6)—6严ax=Jox+6可建立两种等价的计算公式(1)厶=丄_6仃」取厶=0.154；(2)"丄(1_叽),取厶o=O.n071来计算厶，厶‘厶‘人，…，厶9,编程比较哪种计算的数值结果好，并给岀理论分析。第二章插值法1.已知/(0)=2,/(1)=-1,那么差商/[1,0]=・2.兄阶差商与导数的关系是/[兀(),％[,•••,£]=・3.由导数和差

4、商的关系知，f[xi,xi]=-4.已知函数/⑴在兀=3,1,4的值分别是4,6,9,试构造Lagrange插值多项式。5.取节点勺=0,旺=1,吃=2,对应的函数值和导数值分别为/(x0)=l,/(x1)=2,/，U1)=2,试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为广也)=2,插值多项式如何让算？)6.已知/(0)=1,/(I)=2,/V)=3,/(2)=9,试建立不超过3次的插值多项式,并写出插值余项.7.设/(x)eC4[

5、中[a,b]是包含勺,兀]的任一区间。试证明：对任一给定的xe[a,b],在(日丿)上总存在一点使得R(x)=/O)—片O)=弓J(X一兀o)(x一和。9.证明关于互异节点｛兀｝；0的Lagrange插值基函数｛/,(%)｝-=0满足恒等式Iq(x)+£(兀)+…+ln(x)=1上机习题：1.绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。第三章数据拟合1・数据拟合与插值的区别是什么？1.最小二乘原理是使偏差迓•的达到最小2.求过点(2,3),(0,1),(3,5)的线性拟合函数。3.用最小二乘法求一形如)匸。+加$的多项式，使与下列数据相拟合X1925313844y19.032.349.

6、073.397.8第四章线性方程组的直接解法1.线性方程组的解法大致可分为,2.平方根法和LDI?分解法要求系数矩阵A满足3.上三角和下三角方程组的解法分别称为,—4.严格对角占优矩阵的定义是什么?5.试求下面矩阵的杜利特尔分解(1)62(2)-2856.用列主元高斯消去法求解方程组「215-2■■■■143兀2=1306310-27.用LU分解法解方程组6-11021=12上机实验题：1.编程实现列主元的高斯消去法2.编程实现LU分解法第五章线性方程组的迭代解法向量x=(3,2,-1,-7/,计算11x11,,兀I.,叽.「31-2「A二010,让算曲，A2,hail.126一20A

7、=分别计算A的谱半径p(A),条件数cond^CA),A,VZ■丿矩阵A的范数与谱半径的关系为求解AX-b的迭代格式#如)=处⑹+g收敛的充分必要条件S0R迭代法收敛的一个必耍条件是松驰因子写出下面方程的Jacobi迭代格式(2)给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛(1)5兀］+2x3=72xl+x2=8对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示：先调整方程组)_2%T6x2=2_1JLX