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1、数值分析思考题11.讨论绝对误差（限人相对误差（限）与有效数字之间的关系。答：（1）绝对误差（限）与有效数字：若兀=°・W2・・・％xi（r（吗HO,m为整数）绝对误差:匕X10m-n*，那么兀就有n个有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。（2）相对误差限与有效数字:F=Q.aia2...an⑷丸，m为整数）相对误差限-xlO,n~n-^xlO^1=2^X1°*可见兀至少有□位有效数字。2.相对误差在什么情况下可以用下式代替?答：实际情况下真实值X是无法得到的，当测量值与真实值之间的误差可以忽略
2、不计时，可用下式代替。3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同答：病态性：数学问题本身性质所决定的，与算法无关，却能引起问题真解很大变化。同:都是输入数据的微小误差导致输出数据误差的增大。异：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学模型本身的问题，与算法无关。取V2«1.41,计算(血_i)6,下列方法中哪种最好？为什么？(1)(3-2坷，(2)(7-5吗,(3),(4),(5)99—70^2(3+2血)(V2+1)姣(V2-1)6«5.051x10-3(3-2列=(3-2x1.41)'"832x
3、1()7(7-5血)2q(7—5x1.41)2=2.5x10」(1)(2)(3)——ur=5.073x10』(3+2外(3+2x1.41)3(4)―«——1―匕5」04xl0-3(V2+1)6(1.41+1)699-70a/2«99-70x72=0.3(5)方法3最好，误差最小数值分析思考题20・100.150.250.30/(兀)0.9048370.8607080.7788010.7408181、已知函数/(兀)的下列观测值:利用Lagrange和Newton插值方法计算f(0.2)的近似值。若另外测得一个新点：/(0.2)«0.80,试估计用上
4、述方法计算/(0.2)的近似值的误差。答：lagragange插值方法：(1)n=l时，取X。二0.15,X】二0.25,L](x)二l°(x)f(x())+hf(xj+;将x二0.2代入得f(0.2)=0.8197545(2)n=2时，取x()=0.15,x】=0.25,x2=0.30,L2(x)二K)(x)f(x())+llf(xl)+12f(x2)二f(x())+f(xl)+f(x2);代入x二().2.得f(().2)=0.8187643334Newton插值方法：clear,clcX二[0.10,0.15025,0.30];Y=[0.90
5、4837,0.860708,0778801,0.740818];n=lcngth(X);A(l:n,l)=Y(l:n);formatrat已知forj二2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-l)-A(i-l,j-l))/(X(i)-X(i-j+l));endendA二AsvmsxfJf=0；u二1.();fork=1:i-lu=u*(x-X(k));endf=f+u*A(i,i);endy=expand(f)ezplot(y,[0.10,0.30])holdonplotQCX'ro1)得f(0.2)=0.8188・2、函数f(x)=-^
6、及定义区间[-5,5],将定义区间分成10等分。利用M方法l+x~编制三次样条插值函数S(x),满足第一类边界条件：”(一5)=0・0740』(5)=-0.0740输出5(2.5)的值并与精确值/(2.5)作比较。function[
7、=spline3(X,Y,dY,x0,m)N=size(X,2);s0二dY(l);sN二dY⑵；interval=0.025;h=zeros(lrN-l);fori=l:N-lh(u)=x(i+i)-x(i)；endd(l,l)=6*((Y(l,2)-Y(l,l))/h(l,l)-sO)/h(l,l)；d(N,l)=
8、6*(sN-(Y(l,N)-Y(l^-l))/h(l,N-l))/h(l,N-l);fori=2:N-ld(i,l)=6*((Y(lj+l)・Y(lj))/h(l»(Y(l炉Y("l))/h("l))/(h(lj)+h(lj・l));endmu二zeros(ljN・l)；md=zeros(lyN-l);md(l^-l)=l;mu(l,l)=l；fori=l:N-2u二hCM+l)/(h(O)+h(lj+l));mu(14+l)-u;md(14)=l-u;endP(l,g;q(l,l)=mu(l,l)/2;fori=2:N-lp(13)=2-md(l
9、>l)*q(14-l);q(14)=mu(U)/p(U)；endp(l,N)=2-md(l,N-l)*q(l^-l);y=
