数值分析--扩充思考题

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1、数值分析“扩充思考题第一章级数计算一、假定f(x)在［a,b］内的导函数有界并且可积。记“1>)心证明凡TZ,且其收敛阶为!.二、假定f(x)在［a,b］±二阶可微，且严㈤在［a,b］上可积。记z=『/(x)dx,仃=+(2i-1)，证明〜TZ,且其收敛阶为2.三、设旳少。>0,称数列®｝，似｝r］^«+1=7(^+伙)，「$/n-0丄…A+1=•伏,为Borchardt数列,证明(i)lim=limXT9鬼T947T=(ii)£(处，00)四、m=iA=3,利用题3求加的近似值。*^»+1=(ax+®)，“2七=0,1,2,…备严亍〒，——+——5%为算术调和平

2、均数列。(i)r口口11111J=応乞=应石；Xlt明J!T9"T9(ii)取^o=2A=1,求它的近似值。=烂士,卄0丄2,…二屁(务+®”2证明EmaKJJT9=lim乞MT9a?-玩21g(a%o)七、证明Aitken外推数列心可写成C心=g--(心；_3)/=3,4,…心一8+和2假设数列耳二台，则心可写成n—34….八、假定耳二c+儿,记｛耳｝,｛儿｝的Aitken外推数列｛"，｛儿｝.证明心二c+儿.例如，若由心产生e的三个近似数^0=2.971,^1=2.737,花二2.723,记几二0.091,必二0.037,比二0.023,对几，比比作外推。九、

3、若"Li且叱WH：证明由叽)Jt-1(g)定义的新数列I比心更快地收敛到a.十、当0

4、-/（耳）”/（兀：（Steffenson格式）。设迭代数列耳收敛于a,且广⑷工°,证明它的收敛阶为2o四、证明方程=0只有唯一一个实根。五、试将方程/-X-1=0的实根隔离。六、Leonardo于1225年研究了方程/（力=+2x2+10x-20=0,求得它的一个解x二1.368808,当时无人知道他用什么方法求解。试设计一个迭代格式，将这个解求出来。（m-1）瓊+M+l）aXt.1—Xt—七、指岀迭代格式收敛于的（叨+l）xf+（用-1）勺;^-“=0正根（a>0,勺>0）的条件，说明若收敛，则它的收敛阶至少是3.八、设f（x）=0有根a且广⑷工°,证明离散牛

5、顿法兀如=队兀），其中©(X)=x-f2(X)/(/(x-/(x))的收敛阶是2.九、设a是f(x)的根，广⑷工0,著名数学家Cauchy定义迭代如下：若已知根的第k次近似忑，由二次方程/(忑)+/(心)0-忑)+«/"(忑)(x-^)2/2!=0的最接近于的一个根作为第k+1次近似，记为x护。讨论Cauchy迭代法的收敛条件，指出它的收敛阶为3十、对函数f(x)=O构造迭代函数m，其中©(x)=x-/(x)/(x)+A(x)(/(x)/f(x))2试选择函数h(x)使它的迭代收敛阶为3,并以例子f(x)二xb^O作数值试验说明上述迭代格式比简单迭代法x=吩)二的

6、收敛快得多(选勺=)・第三章带状矩阵处理—x证明对称正定带状阵的cholesky分解A=LZr中,L的任一行上的半带宽与A在同一行上的半宽相同。二、下图为某一对称带状矩阵A对应的图，试写出其对应矩阵，并用带宽极小化方法对顶点重新编号，然后写出重编后的矩阵二，并比较A与矗之带宽。巧/体/卢1/1“第四章条件数估计一、令A为非奇异n阶方阵，对任何非零数a,证明k(A)=k(aA).对任一n阶正交阵U,证明心(A)二屁(AU)二心(UA).二、令D=diag(10-1,...,10-1)^n阶对角阵，计算det(D)和爲(D)把它们看作n的函数，评论条件数的大小并与行列

7、式作比较。三、给定A和为如下矩阵丫613<6-4A=1329-38宀-4117厂173850；厂17且A的特征值近似地等于=0.0588,^=0.2007,^=84.74(i)计算2b』屮禺(ii)用本章提出的方法估计爲(A),并与(i)中的计算结果比较。四、考虑精确解为^1=^2=1的方程组flAx=X11.01人兀2丿厂2、<2-01；和方程组(A+S4)x=<11xi_(2]=<2-01,计算忍(&川,并用误差估计式(6.3)对此结果进行估计。五、给定n阶方阵A和B,证明

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