高一数学北师大版必修4学案：231数乘向量含答案

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1、第二章平面向量§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量【明冃标、知重点】1•了解数乘向量的概念，并理解这种运算的儿何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.填要点•记疑点1.数乘向量(1)定义：一般地，实数人与向量a的积是一个向量,记作加.(2)长度：M=Wa.⑶方向:当严切的方向鯉〔2＜0,与a的方向相反.特别地,当久=0或a=0时,0a=0或20=0,方向任意.2.加的儿何意义将表示向量a的有向线段伸长或压缩,当

2、刀＞

3、1时，表示向量a的有向线段在原方向(久＞0咸反方向(久＜0)上伸长为原來的以倍；当囚＜1时°,表示向量a的冇向线段在原方向(2＞0)或反方向(2＜0)上缩短为原来的囚倍•3.数乘向最的运算律(1两皿)=%/)4(久,“WR)；(2)(久+")a=/a+“aQ,〃WR)；(3"(a+方)=加+肋©丘R)・4.向量共线的判定定理和性质定理⑴判定定理：a是-•个非零向量，若存在一个实数2,使得b=ka,贝IJ向量b与非零向量a共线.(2)性质定理：若向量方与非零向量a共线,则存在一•个实数儿使得*加.探要点•究所然［情境导学］位移、力、速度、加速度等

4、都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现•如力与加速度的关系F=ma,位移与速度的关系“"这些公式都是实数与向量间的关系・师:我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+a+a和(・a)+(・a)+(・a)向量，并请同学们指岀相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：d+a+a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同«)+(-«)+(-d)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反・师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题・探究点一数乘向最运算的概念思考1一•物体作匀速直线运动，一

5、秒钟的位移对应向量s那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3e表示，试在直线/上画出3e向量，看看向量3。与Q的关系如何？OABC3v=OC=OA+AB+BC=v+v+v..•.3e与v的方向相同，

6、3q

7、=3

8、q

9、.思考2已知非零向量a,作出a+a+a和(一a)+(—a)+(—a).答OABCOC—OA+y4B+3C=a+a+a=3a；C?~A'O'O^C=0,~Af+A,~B,+B,~C'=(—a)+(—a)+(—a)=_3a.思考3-般地，我们规定：实数2与向量。的积是一个向量，记作加•该向量的长度与方向与向虽a冇什么关系？你能说明实数久

10、与向量a的乘积加的儿何意义吗？答(l)

11、Aa

12、=P>

13、；(2)A>0时，加与a方向相同；QvO时,加与a方向相反;2=0时，m=0,方向任意.加的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩，当

14、2

15、>1吋，表示向量a的有向线段在原方向(40)或反方向(2<0)上伸长为原來的

16、刀倍；当

17、2

18、<1时，表示向量a的有向线段在原方向a>0)或反方向(2<0)±缩短为原来的闪倍.探究点二数乘向量的运算律思考1根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答设久，“WR,则有①2(“a)=(久“)a；②(2+“)a=2a+pa；③2(a+〃)=Xa+Xb

19、.思考2向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，乂要证明方向和同•你能根据这两条证明其屮的第①条运算律吗？答®x(/za)=(2/z)a(A，“WR).如果久=0或“=0或a=0,则①式显然成立；如果久HO,“HO,aHO,则山数乘向量的定义有^a)

20、=

21、A

22、

23、z/a

24、=

25、2M«b

26、(弘)创=皿

27、

28、创=口也

29、測,故iz(/z

30、3)X4°；(2)3(a+b)—2(a—b)—a；(3)(2a+3〃一c)—(3a—2〃+c).解(1)原式二(・3X4)a=・12a；⑵原式二3a+3〃・2a+2b・a=5b；(3)原式=2a+3b・c・3a+2〃・c二-a+5b・2c・反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.跟踪训练1计算：(1)6(3a-2b)+9(-2a+〃)；(2)£(3a+2b)-

31、a-b；(3)6(a—方+c)—4(a—2〃+c)—2(—2a+c)・解⑴原式

32、=18a・12b・18a+9b二・3b.⑶原式二6a・6方+6c・4a+8b・4c+4a・2c=(6a・4a+4a)+(8b-6b)+(6c・4c・2